本記事では、二相短絡時の故障計算について、例題として電験一種の過去問を解いていく。
二相短絡故障計算：例題
出典：電験一種二次試験「電力・管理」 平成21年度問4
（※問題の記述を一部変更しています）$(1)$
図1に示す系統において、77kV送電線の中間地点（変圧器$T_S$および$T_R$から等距離の地点）で$b-c$相間短絡事故が発生した場合、変圧器$T_S$の77kV側出口に設置された距離リレーに入力される各相の電流値および電圧値（いずれも77kV側換算値）を求めよ。
ただし、位相については電源$G_S$の$a$相内部誘起電圧を基準とする。
また、電源$G_S,\ G_R$の内部誘起電圧は154kVとし、事故点のアーク抵抗および発電機・変圧器・送電線の抵抗分は無視するものとする。
図中の$\%$インピーダンスの値は基準容量を$10\mathrm{MV\cdot A}$ベースとし、基準電圧は各系統電圧で表すものとする。また、添え字$1,\ 2$は正相及び逆相を表す。
図1 事故系統
$(2)$
$(1)$の事故時に$b$相の距離リレーがみるインピーダンスを求め、リレーの動作範囲内にあるか判定せよ。ただし、距離リレーがみるインピータンスは以下の通りとし、$b$相のリレーの動作範囲は図2で示される円の内側で設定されているものとする。
$b$相のリレーがみるインピーダンス：$\dot{Z_b}=\displaystyle{\frac{\dot{V_b}-\dot{V_c}}{\dot{I_b}-\dot{I_c}}}$
図2 $b$相リレー動作範囲
二相短絡電流と各相電圧の式
詳細な解説は下記事に譲るが、二相短絡故障時は正相および逆相回路が並列に接続され、零相回路は電気的に接続されない状態となる。
すなわち、短絡電流の零相成分$\dot{I_0}$はゼロで、正相成分$\dot{I_1}$と逆相成分$\dot{I_2}$の値は等しく、向きが逆である$(\dot{I_1}=-\dot{I_2})$。
また、相電圧の零相成分$\dot{V_0}$はゼロで、正相成分$\dot{V_1}$と逆相成分$\dot{V_2}$は等しい$(\dot{V_1}=\dot{V_2})$ 。
本記事では、対称座標法を用いた二相短絡故障（相間短絡故障）の計算について解説する。二相短絡故障時の回路図1に二相短絡故障発生時の回路を示す。同図では、 $F$点$b-c$相端子間が短絡[…]
事故点における二相短絡電流$\dot{I’_b}=-\dot{I’_c}$は、上記事の$(20)$式より、
\dot{I’_b}=-\dot{I’_c}=\frac{ (a^2-a)}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\dot{E_a} ・・・(1)
\end{align}$$
また、$a,\ b,\ c$相の事故点における各端子電圧$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$は、上記事の$(21),\ (22)$式より、
\dot{V’_a}&=\frac{2\dot{Z_2}}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\dot{E_a} &・・・(2)\\\\
\dot {V’_b}&=\dot {V’_c}=-\frac{\dot{Z_2}}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\dot{E_a}=-\frac{1}{2}\dot{V’_a} &・・・(3)\\\\
\end{align*}$$
正相・逆相インピーダンスの計算
次に、事故点から見た電源$G_S$側および$G_R$側の正相・逆相インピーダンスの大きさを求めると、
Z_{S1}&=\frac{XL_1}{2}+XT_{S1}+XG_{S1}\\\\&=\frac{0.02}{2}+0.01+0.02=0.04\ \mathrm{p.u.}\\\\Z_{S2}&=\frac{XL_2}{2}+XT_{S2}+XG_{S2}\\\\&=\frac{0.02}{2}+0.01+0.01=0.03\ \mathrm{p.u.}\\\\Z_{R1}&=\frac{XL_1}{2}+XT_{R1}+XG_{R1}\\\\&=\frac{0.02}{2}+0.01+0.02=0.04\ \mathrm{p.u.}\\\\Z_{R2}&=\frac{XL_2}{2}+XT_{R2}+XG_{R2}\\\\&=\frac{0.02}{2}+0.01+0.01=0.03\ \mathrm{p.u.}\end{align*}$$
したがって、事故点から見た正相・逆相インピーダンスの大きさをそれぞれ$Z_1,\ Z_2$とすると、
Z_1&=\frac{Z_{S1}Z_{R1}}{Z_{S1}+Z_{R1}}=\frac{0.04\times0.04}{0.04+0.04}=0.02\ \mathrm{p.u.}\\\\Z_2&=\frac{Z_{S2}Z_{R2}}{Z_{S2}+Z_{R2}}=\frac{0.03\times0.03}{0.03+0.03}=0.015\ \mathrm{p.u.}
\end{align*}$$
二相短絡電流の計算
二相短絡電流$\dot{I’_b}[\mathrm{p.u.}]$は、前節のインピーダンスの計算結果を$(1)$式に代入して、
$10\mathrm{MVA},\ 77\mathrm{kV}$基準におけるベース電流の大きさ$I_B[\mathrm{A}]$は、
したがって、事故点における短絡電流$\dot{I’_b}[\mathrm{A}]$は、
ここで、図1の距離リレーに入力される電流$\dot{I_b}$および$\dot{I_c}$は、事故点から電源$G_S$側および$G_R$側の回路は並列接続となっており、インピーダンスの値も等しいことより、$\dot{I’_b}$の1/2となる。
よって、 $\dot{I_b}$は、
また、$c$相リレーに流れる電流$\dot{I_c}$は、$\dot{I’_b}=-\dot{I’_c}$の関係性から、
次に、各相の事故点における電圧$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$は、$(2),\ (3)$式を用いて、
\dot{V’_a}&=\frac{2\times j0.015}{j0.02+j0.015}\times1.0=0.8571\ \mathrm{p.u.}\\\\
\dot{V’_b}&=\dot{V’_c}=-\frac{j0.015}{j0.02+j0.015}\times1.0=-0.4286\ \mathrm{p.u.}
\end{align*}$$
したがって、各相の距離リレーに入力される電圧$\dot{V_a},\ \dot{V_b},\ \dot{V_c}$は、送電線のインピーダンスによる電圧降下を考慮する必要があるため、電圧の基準が$\displaystyle{\frac{77000}{\sqrt{3}}}\mathrm{V}$，かつ$XL_1=XL_2$であることを考慮して、
\dot{V_a}&=\dot{V’_a}=0.8571\times\frac{77000}{\sqrt{3}}=38104→\boldsymbol{\underline{38100\mathrm{V}}}\\\\
\dot{V_b}&=\dot{V’_b}+\frac{1}{2}\left(jXL_1\cdot a^2\dot{I_1}+jXL_2\cdot a\dot{I_2}\right)\\\\
&=\dot{V’_b}+\frac{1}{2}\cdot jXL_1\left(a^2-a\right)\dot{I_1}\\\\
&=\left\{-0.4286+j0.01\times(-49.49)\times\frac{1}{2}\right\}\times\frac{77000}{\sqrt{3}}\\\\
&=-19054-j11001\\\\
\therefore&V_b=\left|\dot{V_b}\right|=22002→\boldsymbol{\underline{22000\mathrm{V}}}\\\\
\dot{V_c}&=\dot{V’_c}+\frac{1}{2}\left(jXL_1\cdot a\dot{I_1}+jXL_2\cdot a^2\dot{I_2}\right)\\\\
&=\dot{V’_c}+\frac{1}{2}\cdot jXL_1\left(a-a^2\right)\dot{I_1}\\\\
&=\left(-0.4286+j0.01\times49.49\times\frac{1}{2}\right)\times\frac{77000}{\sqrt{3}}\\\\
&=-19054+j11001\\\\
\therefore&V_c=\left|\dot{V_c}\right|=22002→\boldsymbol{\underline{22000\mathrm{V}}}\\\\
\end{align*}$$
リレー動作範囲内かの判定
$(2)$
距離リレーは設置された線路の入力の電圧$\dot{V}$および電流$\dot{I}$から、回路インピーダンス$\dot{Z}=\displaystyle{\frac{\dot{V}}{\dot{I}}}=R+jX$を算出するので、動作領域特性を図2のように$R-X$座標上に表現することができる。
さて、$b$相のリレーがみるインピーダンス$\dot{Z_b}=\displaystyle{\frac{\dot{V_b}-\dot{V_c}}{\dot{I_b}-\dot{I_c}}}$を計算すると、
\dot{Z_b}&=\frac{\dot{V_b}-\dot{V_c}}{\dot{I_b}-\dot{I_c}}\\\\
&=\frac{-19054-j11001-(-19054+j11001)}{-1855.4-1855.4}\\\\
&=j5.929\Omega
\end{align*}$$
となり、純リアクタンス成分のみとなる。
一方、図2より、$X$方向のリレー動作範囲は、
となるため、$b$相距離リレー動作範囲内であることより、リレーは動作する。
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