対称座標法変換の基本式

零相成分の正体」および「正相成分と逆相成分」にて、任意の三相電気量($a-b-c$領域)の零相・正相・逆相成分($0-1-2$領域)への変換の仕組みについて感覚的な導入を行った。本記事では実際の計算で使用する「$0-1-2$変換」の基本式について導出する。

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「零相成分の正体」で扱った式

零相成分$\dot{V_0}$の定義式は、

$$\dot { { V }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +\dot { { V }_{ b } } +\dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(1a)$$



また、$\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}$から$\dot{V_0}$を取り出すと、

$$ \dot { { V }_{ a } }=\dot{{ V }_{ a }^{ ’ }}+\dot { { V }_{ 0 } }  ・・・(2a)\\
\dot { { V }_{ b} }= \dot{{ V }_{ b}^{ ’ }}+\dot { { V }_{ 0 } } ・・・(2b)\\
\dot { { V }_{ c } }=\dot{{ V }_{ c }^{ ’ }}+\dot { { V }_{ 0 } } ・・・(2c)
$$


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「正相成分と逆相成分」で扱った式

$\dot{V_1}$, $\dot{V_2}$の定義式は、

$$\dot { { V }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a\dot { { V }_{ b } } +a^2\dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(1b)\\
\dot { { V }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a^2\dot { { V }_{ b } } +a\dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(1c)$$

$\dot{V’_a}$, $\dot{V’_b}$, $\dot{V’_c}$について、$\dot{V’_a}+\dot{V’_b}+\dot{V’_c}=0$を考慮して、

$\dot{V’_a}=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }}\dot{V’_a} +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_a} +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_a} \\
\quad= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \dot { V’_a } +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_a} +\frac { 1 }{ 3 } \left(-\dot {V’_b}-\dot {V’_c} \right) \\
\quad= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \dot { V’_a } +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_a} +\frac { 1 }{ 3 } (a+a^2)\dot {V’_b} +\frac { 1 }{ 3 } (a^2+a) \dot {V’_c}\\
\quad = \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} ( \dot { V’_a } +a\dot { V’_b }+a^2 \dot { V’_c } )+ \frac{1}{3}( \dot { V’_a } +a^2\dot { V’_b }+a \dot { V’_c } )\\
\quad =\dot{V_1}+\dot{V_2}                   ・・・(3a)$

$\dot{V’_b}=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }}\dot{V’_b} +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_b} +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_b} \\
\quad= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \dot { V’_b } +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_b} +\frac { 1 }{ 3 } \left(-\dot {V’_c}-\dot {V’_a} \right) \\
\quad= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \dot { V’_b } +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_b} +\frac { 1 }{ 3 } (a+a^2)\dot {V’_c} +\frac { 1 }{ 3 } (a^2+a) \dot {V’_a}\\
\quad = \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} a^2( \dot { V’_a } +a\dot { V’_b }+a^2 \dot { V’_c } )+ \frac{1}{3}a( \dot { V’_a } +a^2\dot { V’_b }+a \dot { V’_c } )\\
\quad =a^2\dot{V_1}+a\dot{V_2}                   ・・・(3b) $

$\dot{V’_c}=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }}\dot{V’_c} +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_c} +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_c} \\
\quad= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \dot { V’_c } +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_c} +\frac { 1 }{ 3 } \left(-\dot {V’_a}-\dot {V’_b} \right) \\
\quad= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \dot { V’_c} +\frac { 1 }{ 3 } \dot{V’_c} +\frac { 1 }{ 3 } (a+a^2)\dot {V’_a} +\frac { 1 }{ 3 } (a^2+a) \dot {V’_b}\\
\quad = \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} a( \dot { V’_a } +a\dot { V’_b }+a^2 \dot { V’_c } )+ \frac{1}{3}a^2( \dot { V’_a } +a^2\dot { V’_b }+a \dot { V’_c } )\\
\quad =a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2}                   ・・・(3c) $


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対称座標法の変換式

電圧の0-1-2⇒$a-b-c$変換式

$(1a)$~$(1c)$式を再掲すると、

$$\begin{align*} \dot { { V }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left(\ \dot { { V }_{ a } } +\ \ \dot { { V }_{ b } } +\ \ \dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(1a)\\
\dot { { V }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a\dot { { V }_{ b } } +a^2\dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(1b)\\
\dot { { V }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a^2\dot { { V }_{ b } } +a\dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(1c) \end{align*} $$

行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)$$

電流の0-1-2⇒$a-b-c$変換式

また、これまで電圧についての導出であったが、電流についても同様に、

$$\begin{align*} \dot { { I }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left(\ \dot { { I }_{ a } } +\ \ \dot { { I }_{ b } } +\ \ \dot { { I }_{ c } } \right) ・・・(1d)\\
\dot { { I }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { I }_{ a } } +a\dot { { I }_{ b } } +a^2\dot { { I }_{ c } } \right) ・・・(1e)\\
\dot { { I }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { I }_{ a } } +a^2\dot { { I }_{ b } } +a\dot { { I }_{ c } } \right) ・・・(1f) \end{align*} $$

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { I }_{ 0 } } \\ \dot { { I }_{ 1 } } \\ \dot { { I }_{ 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ a } } \\ \dot { { I }_{ b } } \\ \dot { { I }_{ c } } \end{array} \right) ≡\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ a } } \\ \dot { { I }_{ b } } \\ \dot { { I }_{ c } } \end{array} \right) $$

電圧の$a-b-c$⇒0-1-2変換式

次に、$(2a)$~$(2c)$式に$(3a)$~$(3c)$式をそれぞれ代入すれば、

$$\begin{align*}
&\dot {V_a}=\dot { { V }_{ 0 } }+\quad\dot{V_1}+\ \ \dot{V_2}  ・・・(4a)\\
&\dot { { V }_{ b } }=\dot { { V }_{ 0 } }+a^2\dot{V_1}+\ a\dot{V_2}  ・・・(4b)\\
&\dot { { V }_{ c } }=\dot { { V }_{ 0 } } +\ a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2}  ・・・(4c)
\end{align*}$$

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { a }^{ 2 } & a \\ 1 & a & { a }^{ 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) $$

電流の$a-b-c$⇒0-1-2変換式

電流についても同様に、

$$\begin{align*}
&\dot {I_a}=\dot { { I }_{ 0 } }+\quad\dot{I_1}+\ \ \dot{I_2}  ・・・(4d)\\
&\dot { {I }_{ b } }=\dot { { I }_{ 0 } }+a^2\dot{I_1}+\ a\dot{I_2}  ・・・(4e)\\
&\dot { { I }_{ c } }=\dot { { I }_{ 0 } } +\ a\dot{I_1}+a^2\dot{I_2}  ・・・(4f)
\end{align*}$$

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { I }_{ a } } \\ \dot { { I }_{ b } } \\ \dot { { I }_{ c } } \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { a }^{ 2 } & a \\ 1 & a & { a }^{ 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ 0 } } \\ \dot { { I }_{ 1 } } \\ \dot { { I }_{ 2 } } \end{array} \right) ≡\boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ 0 } } \\ \dot { { I }_{ 1 } } \\ \dot { { I }_{ 2 } } \end{array} \right) $$

なお、$\displaystyle{\boldsymbol{a}= \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)}$と$ \boldsymbol{a^{-1}} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)$は互いに逆行列の関係にある。

以上、$(1a)$~$(1f)$, $(4a)$~$(4f)$が三相電気量($a-b-c$領域)を零相・正相・逆相成分($0-1-2$領域)に変換する対象座標法の変換式となる。


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