対称座標法変換の基本式

零相成分」および「正相成分と逆相成分」の記事にて、任意の三相電気量の各相成分($a-b-c$領域における電気量)を、零相・正相・逆相の各成分($0-1-2$領域における電気量)へ変換するための考察を行った。

本記事では、実際の計算で使用する対称座標法変換の基本式について導出する。

対称座標法における零相成分

任意の三相電気量(電圧)を$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$とすると、零相成分$\dot{V}_0$の定義式は、

$$\dot{V}_0=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c\right) ・・・(1\mathrm{a})$$

 

また、三相電気量$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$から零相成分$\dot{V}_0$を図1のように分離すると、

$$\begin{cases}
\dot{V}_a&=\dot{V’}_a+\dot{V}_0 &・・・(2\mathrm{a})\\\\
\dot{V}_b&=\dot{V’}_b+\dot{V}_0 &・・・(2\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_c&=\dot{V’}_c+\dot{V}_0 &・・・(2\mathrm{c})
\end{cases}$$

 

ここで、$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$は、$\dot{V’}_a+\dot{V’}_b+\dot{V’}_c=0$となるような三相電気量ベクトルである。

 

図1 三相電気量からの零相成分の分離

 

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対称座標法における正相および逆相成分

正相成分$\dot{V}_1$および逆相成分$\dot{V}_2$の定義式は、前項の$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$を用いて、

$$\begin{align*}
\dot{V}_1&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a\dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a^2\dot{V}_b+a\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{c})
\end{align*}$$

 

ここで、$\dot{V}_1$および$\dot{V}_2$を$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$を用いて表すと、$(1\mathrm{b}),\ (1\mathrm{c})$式および$1+a+a^2=0$の関係を用いて、

$$\begin{align*}
\dot{V}_1&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a\dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\left\{\left(\dot{V’}_a+\dot{V}_0\right)+a\left(\dot{V’}_b+\dot{V}_0\right)+a^2\left(\dot{V’}_c+\dot{V}_0\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+\frac{1}{3}\left(1+a+a^2\right)\dot{V}_0\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right) ・・・(1\mathrm{b})’
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a^2\dot{V}_b+a\dot{V}_c\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\left\{\left(\dot{V’}_a+\dot{V}_0\right)+a^2\left(\dot{V’}_b+\dot{V}_0\right)+a\left(\dot{V’}_c+\dot{V}_0\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)+\frac{1}{3}\left(1+a^2+a\right)\dot{V}_0\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right) ・・・(1\mathrm{c})’
\end{align*}$$

 

$(1\mathrm{b})’,\ (1\mathrm{c})’$式に基づき、$\dot{V}_1$および$\dot{V}_2$を$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$を用いて表したものを図2および図3に示す。

 

図2 三相電気量からの正相成分の生成

 

図3 三相電気量からの逆相成分の生成

 

逆に、$\dot{V’}_a$, $\dot{V’}_b$, $\dot{V’}_c$を変形し、$\dot{V}_1$および$\dot{V}_2$を用いて表す。

 

まず$\dot{V’}_a$は、$\dot{V’}_a+\dot{V’}_b+\dot{V’}_c=0$を考慮して、

$$\begin{align*}
\dot{V’}_a&=\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\left(-\dot{V’}_b-\dot{V’}_c\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\left(a+a^2\right)\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\left(a^2+a\right)\dot{V’}_c\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)\\\\
&=\dot{V}_1+\dot{V}_2 ・・・(3\mathrm{a})
\end{align*}$$

 

$(3\mathrm{a})$式導出までの変形をベクトル図に表したものを図4に示す。

図4 $\dot{V’}_a$ベクトルの変形

 

次に$\dot{V’}_b$も同様に、

$$\begin{align*}
\dot{V’}_a&=\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\left(-\dot{V’}_c-\dot{V’}_a\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\left(a+a^2\right)\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\left(a^2+a\right)\dot{V’}_a\\\\
&=\frac{1}{3}a^2\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+a\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)\\\\
&=a^2\dot{V}_1+a\dot{V}_2 ・・・(3\mathrm{b})
\end{align*}$$

 

$(3\mathrm{b})$式導出までの変形をベクトル図に表したものを図5に示す。

 

図5 $\dot{V’}_b$ベクトルの変形

 

$$\begin{align*}
\dot{V’}_c&=\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\left(-\dot{V’}_a-\dot{V’}_b\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\left(a+a^2\right)\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\left(a^2+a\right)\dot{V’}_b\\\\
&=\frac{1}{3}a\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+a^2\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)\\\\
&=a\dot{V}_1+a^2\dot{V}_2 ・・・(3\mathrm{c})
\end{align*}$$

 

$(3\mathrm{c})$式導出までの変形をベクトル図に表したものを図6に示す。

 

図6 $\dot{V’}_c$ベクトルの変形

 

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対称座標法変換の基本式

以下、三相電気量の各相成分を$a-b-c$領域、零相・逆相・正相成分を$0-1-2$領域における量と表現する。

 

電圧のabc ⇒0-1-2変換式

$(1\mathrm{a})$~$(1\mathrm{c})$式を再掲すると、

$$\begin{cases}
\dot{V}_0&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{a})\\\\
\dot{V}_1&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{V}_a+a\dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_2&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{V}_a+a^2\dot{V}_b+a\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{c})
\end{cases}$$

 

$(1\mathrm{a})$~$(1\mathrm{c})$式を行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right) ・・・(1.1)$$

 

$(1.1)$式において、$\displaystyle{\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array}\right)}$は対称座標法における$a-b-c\Rightarrow 0-1-2$領域への変換行列という。

 

また、$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$から$\dot{V}_0,\ \dot{V}_1,\ \dot{V}_2$への変換をベクトル図に表したものを図7に示す。

 

図7 電圧の$a-b-c\Rightarrow 0-1-2$変換

 

電流のabc ⇒0-1-2変換式

また、前項まで電圧についての導出であったが、電流についても同様の関係が成り立つ。

 

$a-b-c$領域における電流$\dot{I}_a,\ \dot{I}_b,\ \dot{I}_c$から、$0-1-2$領域における電流$\dot{I}_0,\ \dot{I}_1,\ \dot{I}_2$への変換式は、

$$\begin{cases}
\dot{I}_0&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c\right) &・・・(1\mathrm{d})\\\\
\dot{I}_1&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{I}_a+a\dot{I}_b+a^2\dot{I}_c\right) &・・・(1\mathrm{e})\\\\
\dot{I}_2&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{I}_a+a^2\dot{I}_b+a\dot{I}_c\right) &・・・(1\mathrm{f})
\end{cases}$$

 

$(1\mathrm{d})$~$(1\mathrm{f})$式を行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right) ・・・(1.2)$$

 

$(1.2)$式より、変換行列$\boldsymbol{a}$を用いて、電流についても変換の計算を行うことができる。

 

電圧の0-1-2⇒abc 変換式

また、$(2\mathrm{a})$~$(2\mathrm{c})$式に$(3\mathrm{a})$~$(3\mathrm{c})$式をそれぞれ代入し、$\dot{V’}_a$, $\dot{V’}_b$, $\dot{V’}_c$を消去すると、

$$\begin{cases}
\dot{V}_a&=\dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2  &・・・(4\mathrm{a})\\\\
\dot{V}_b&=\dot{V}_0+a^2\dot{V}_1+a\dot{V}_2 &・・・(4\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_c&=\dot{V}_0+a\dot{V}_1+a^2\dot{V}_2 &・・・(4\mathrm{c})
\end{cases}$$

 

$(4\mathrm{a})$~$(4\mathrm{c})$式を行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array}\right)\equiv\boldsymbol{a^{-1}}\left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array}\right) ・・・(2.1)$$

 

$(2.1)$式において、$\displaystyle{\boldsymbol{a}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array}\right)}$は対称座標法における$0-1-2\Rightarrow a-b-c$領域への逆変換行列という。

 

また、$\dot{V}_0,\ \dot{V}_1,\ \dot{V}_2$から$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$への変換をベクトル図に表したものを図8に示す。

 

図8 電圧の$0-1-2\Rightarrow a-b-c$変換

 

電流の0-1-2⇒abc 変換式

さらに、電流についても前項と同様の関係が成り立つ。

$$\begin{cases}
\dot{I}_a&=\dot{I}_0+\dot{I}_1+\dot{I}_2 &・・・(4\mathrm{d})\\\\
\dot{I}_b&=\dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_2 &・・・(4\mathrm{e})\\\\
\dot{I}_c&=\dot{I}_0+a\dot{I}_1+a^2\dot{I}_2 &・・・(4\mathrm{f})
\end{cases}$$

 

$(4\mathrm{d})$~$(4\mathrm{f})$式を行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{a^{-1}}\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right) ・・・(2.2)$$

 

$(2.2)$式より、逆変換行列$\boldsymbol{a}^{-1}$を用いて、電流についても変換の計算を行うことができる。

 

なお、変換行列$\boldsymbol{a}$と逆変換行列$\boldsymbol{a}^{-1}$は互いに逆行列の関係にある。

 

以上、$(1\mathrm{a})$~$(1\mathrm{f})$, $(4\mathrm{a})$~$(4\mathrm{f})$が三相電気量の各相成分($a-b-c$領域)を零相・正相・逆相成分($0-1-2$領域)に変換する対称座標法の変換式となる。





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電験一種

 

参考文献

  • 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版,2015

 

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