無損失線路における電圧・電流

分布定数回路において、$R=G=0$が成立する場合、その回路は無損失線路という。

本記事では、無損失線路における電圧・電流の式を導く。

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電信方程式からの導出

図1に送電線の分布定数回路を示す。

図1 送電線の分布定数回路

 

図1における送電線の電信方程式は、

$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}}+(LG+CR)\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}+RGv(x,t) &・・・(1)\\\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}}+(LG+CR)\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}+RGi(x,t) &・・・(2)
\end{cases}$

 

電信方程式についてはこちら↓

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新しい変数の導入

$(1),\ (2)$式において、$R=G=0$とすると、

$$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}} &・・・(3)\\\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}} &・・・(4)
\end{cases}$$

となり、簡単な形となる。この形は一次元波動方程式と呼ばれる。

$(3),\ (4)$式を解くために、新しい変数として、

$$\begin{cases}
\xi=x+ut\\\\
\eta=x-ut
\end{cases}$$

を導入する。ただし、

$$u=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

とする。新しい変数$\xi,\ \eta$において、$x$は距離、$t$は時間であるから、物理的には$u$は速度を表すことになる。

$\xi,\ \eta$を用いて$x,\ t$を表すと、

$$\begin{cases}
x=\displaystyle{\frac{\xi+\eta}{2}}\\\\
t=\displaystyle{\frac{\xi-\eta}{2u}}
\end{cases}$$

となるため、電圧$v(x,t)$は、

$$v(x,t)=v\left(\frac{\xi+\eta}{2},\frac{\xi-\eta}{2u}\right)\rightarrow v(\xi,\eta)$$

と書き換えることができる。電流$i(x,t)$についても同様である。

xにおける偏微分

電圧$v(\xi,\eta)$について、$x$で偏微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial x}&=\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}\\\\
&=\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}+\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta} ・・・(5)\\\\
&\left(\because\frac{\partial \xi}{\partial x}=1,\ \frac{\partial \eta}{\partial x}=1\right)
\end{align*}$$

 

$(5)$式をさらに$x$で偏微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial x^2}&=\frac{\partial}{\partial \xi}\left\{\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}+\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta}\right\}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial \eta}\left\{\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}+\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta}\right\}\frac{\partial \eta}{\partial x}\\\\
&=\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi^2}+2\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi\partial \eta}+\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \eta^2} ・・・(6)\\\\
&\qquad\qquad\qquad\left(\because\frac{\partial \xi}{\partial x}=1,\ \frac{\partial \eta}{\partial x}=1\right)
\end{align*}$$

tにおける偏微分

電圧$v(\xi,\eta)$について、$t$で偏微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial t}&=\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t}+\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t}\\\\
&=u\left\{\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}-\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta}\right\} ・・・(7)\\\\
&\left(\because\frac{\partial \xi}{\partial t}=u,\ \frac{\partial \eta}{\partial t}=-u\right)
\end{align*}$$

 

$(7)$式をさらに$t$で偏微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial t^2}&=\frac{\partial}{\partial \xi}\left[u\left\{\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}-\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta}\right\}\right]\frac{\partial \xi}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial \eta}\left[u\left\{\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}-\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \eta}\right\}\right]\frac{\partial \eta}{\partial t}\\\\
&=u^2\left\{\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi^2}-2\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi\partial \eta}+\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \eta^2}\right\} ・・・(8)\\\\
&\qquad\qquad\qquad\left(\because\frac{\partial \xi}{\partial t}=u,\ \frac{\partial \eta}{\partial t}=-u\right)
\end{align*}$$

ダランベールの解

$(6),\ (8)$式を$(3)$式に代入すると、$u=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$に注意して、

$$\begin{align*}
\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi^2}+2\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi\partial \eta}+\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \eta^2}&=\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi^2}-2\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi\partial \eta}+\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \eta^2}\\\\
\therefore\frac{\partial^2 v(\xi,\eta)}{\partial \xi\partial \eta}&=0 ・・・(9)
\end{align*}$$

 

$(9)$式の両辺を$\eta$について積分すると、

$$\frac{\partial v(\xi,\eta)}{\partial \xi}=\phi_1\left(\xi\right) ・・・(10)$$

$(10)$式右辺の$\phi_1\left(\xi\right)$は$\xi$の関数であり、$\eta$については積分定数の扱いになる。

 

$(10)$式の両辺を$\xi$について積分すると、

$$v(\xi,\eta)=\int{\phi_1\left(\xi\right)d\xi}+\psi\left(\eta\right) ・・・(11)$$

$(11)$式右辺第1項は結局$\xi$の関数となるため、これを$\phi\left(\xi\right)$とおく。
また、第2項の$\psi\left(\eta\right)$は$\eta$の関数であり、$\xi$については積分定数の扱いになる。

 

よって、$(11)$式は、

$$v(\xi,\eta)=\phi\left(\xi\right)+\psi\left(\eta\right) ・・・(12)$$

 

$(12)$式の変数$\xi,\ \eta$を$x,\ t$に戻すと、

$$v(x,t)=\phi\left(x+ut\right)+\psi\left(x-ut\right) ・・・(13)$$

が導かれる。$(13)$式を1次元波動方程式のダランベールの解という。

なお、電流$i(\xi,\eta)$についても、同様の解法が適用できる。

 

ただし、$(13)$式において、$v(x,t)$と$\phi\left(x+ut\right),\ \psi\left(x-ut\right)$がどのような関係であるかは不明瞭であるため、次項で$s$領域における電圧・電流の式から考察する。

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任意の回路の式からの導出

任意の分布定数回路の$s$領域における電圧・電流の一般解は、

$$\begin{cases}
V(x,s)=\cosh\gamma(s)x\cdot V(0,s)-\sinh\gamma(s)x\cdot Z_0(s)I(0,s) &・・・(14)\\\\
I(x,s)=-\frac{1}{\displaystyle{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)x\cdot V(0,s)+\cosh\gamma(s)x\cdot I(0,s) &・・・(15)
\end{cases}$$

 

ただし、$V(0,s),\ I(0,s)$は$x=0$における電圧・電流の値であり、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{Ls+R}{Cs+G}}}
\end{cases}$$

 

導出はこちら↓

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$(14),\ (15)$式を変形すると、

$$\begin{align}
V(x,s)&=\displaystyle{\frac{V(0,s)+Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{-\gamma(s)x}+\displaystyle{\frac{V(0,s)-Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{\gamma(s)x}&\\\\
&・・・(16)&\\\\
I(x,s)&=\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\left\{\displaystyle{\frac{V(0,s)+Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{-\gamma(s)x}-\displaystyle{\frac{V(0,s)-Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{\gamma(s)x}\right\}&\\\\
&・・・(17)&
\end{align}$$

 

無損失線路の場合、$R=G=0$であるから、$\gamma(s),\ Z_0(s)$は、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{LC}s\equiv\displaystyle{\frac{s}{u}}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{L}{C}}}\equiv Z_0
\end{cases}$$

ただし、$u=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

 

したがって、$(16),\ (17)$式は、

$$\begin{align}
V(x,s)&=\displaystyle{\frac{V(s)+Z_0I(s)}{2}}e^{-\frac{x}{u}s}+\displaystyle{\frac{V(s)-Z_0I(s)}{2}}e^{\frac{x}{u}s}&\\\\
&・・・(18)&\\\\
I(x,s)&=\displaystyle{\frac{1}{Z_0}}\left\{\displaystyle{\frac{V(s)+Z_0I(s)}{2}}e^{-\frac{x}{u}s}-\displaystyle{\frac{V(s)-Z_0I(s)}{2}}e^{\frac{x}{u}s}\right\}&\\\\
&・・・(19)&
\end{align}$$

$(18),\ (19)$式において、$V(0,s),\ I(0,s)$は$s$のみの関数であるから、$V(s),\ I(s)$と表している。

 

$(18),\ (19)$式の両辺をラプラス逆変換すると、

$$\begin{align*}
v(x,t)&=\mathcal{L^{-1}}\left\{V(x,s)\right\}\\\\
&=\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}+\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\\\\
&\equiv v_1(x-ut)+v_2(x+ut) ・・・(20)\\\\
i(x,t)&=\mathcal{L^{-1}}\left\{I(x,s)\right\}\\\\
&=\frac{1}{Z_0}\left\{\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}-\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\right\}\\\\
&\equiv\frac{1}{Z_0}\left\{v_1(x-ut)-v_2(x+ut)\right\} ・・・(21)
\end{align*}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}
\displaystyle{\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}}&\equiv\frac{v'(x-ut)+Z_0i'(x-ut)}{2}\\\\
&\equiv v_1(x-ut)\\\\
\displaystyle{\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}}&\equiv\frac{v”(x+ut)+Z_0i”(x+ut)}{2}\\\\
&\equiv v_2(x+ut)
\end{align*}$$

とした。

 

$(20),\ (21)$式が無損失線路の電圧・電流の一般解であり、$(13)$式の形と一致する。

 

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