任意の分布定数回路における電圧・電流

本記事では、任意の分布定数回路における電圧・電流の式を導く。

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基礎方程式のラプラス変換

図1の送電線の分布定数回路における基礎方程式は、分布定数回路の記事の$(5),\ (6)$式より、

図1 送電線の分布定数回路

 

$$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}}=L\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}}+Ri(x,t) &・・・(1)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}}=C\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}}+Gv(x,t) &・・・(2)
\end{cases}$$

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$(1),\ (2)$式の両辺をラプラス変換し、$s$領域における式として表すと、

$$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial V(x,s)}{\partial x}}=\left(Ls+R\right)I(x,s)-Li(x,0) &・・・(3)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial I(x,s)}{\partial x}}=\left(Cs+G\right)V(x,s)-Cv(x,0) &・・・(4)
\end{cases}$$

ここで、$V(x,s),\ I(x,s)$は$s$領域における距離$x$の地点の送電線の電圧・電流、$v(x,0),\ i(x,0)$は$t=0$における距離$x$の地点の電圧・電流の初期値である。

 

$(3),\ (4)$式の両辺を$x$で偏微分すると、

$$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial^2 V(x,s)}{\partial x^2}}=\left(Ls+R\right)\frac{\partial I(x,s)}{\partial x}-L\frac{\partial i(x,0)}{\partial x} &・・・(5)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial^2 I(x,s)}{\partial x^2}}=\left(Cs+G\right)\frac{\partial V(x,s)}{\partial x}-C\frac{\partial v(x,0)}{\partial x} &・・・(6)
\end{cases}$$

 

$(5)$式に$(4)$式を、$(6)$式に$(3)$式を代入して$\displaystyle{\frac{\partial V(x,s)}{\partial x}},\ \displaystyle{\frac{\partial i(x,s)}{\partial x}}$を消去すると、

$$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial^2 V(x,s)}{\partial x^2}}=\gamma^2(s)V(x,s)+\phi(x) &・・・(7)\\\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 I(x,s)}{\partial x^2}}=\gamma^2(s)I(x,s)+\psi(x) &・・・(8)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}\\\\
\phi(x)=L\displaystyle{\frac{\partial i(x,0)}{\partial x}}-C\left(Ls+R\right)i(x,0)\\\\
\psi(x)=C\displaystyle{\frac{\partial v(x,0)}{\partial x}}-L\left(Cs+G\right)v(x,0)
\end{cases}$$

 

ここで、$t=0$において送電線が無課電状態であったとすると、$v(x,0)=0,\ i(x,0)=0$であるから、

$$\phi(x)=0,\ \psi(x)=0$$

 

したがって、$(7),\ (8)$式は、

$$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial^2 V(x,s)}{\partial x^2}}=\gamma^2(s)V(x,s) &・・・(9)\\\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 I(x,s)}{\partial x^2}}=\gamma^2(s)I(x,s) &・・・(10)
\end{cases}$$

$(9),\ (10)$式の一般解は、

$$\begin{cases}
V(x,s)=A(s)e^{-\gamma(s)x}+B(s)e^{\gamma(s)x} &・・・(11)\\\\
I(x,s)=\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\left\{A(s)e^{-\gamma(s)x}-B(s)e^{\gamma(s)x}\right\} &・・・(12)
\end{cases}$$

 

ただし、$A(s),\ B(s)$は$s$にのみ依存する値であり、かつ、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{Ls+R}{Cs+G}}}
\end{cases}$$

 

確認として、$(11)$式を$x$で2回微分すると、

$$\begin{align*}
\displaystyle{\frac{\partial^2 V(x,s)}{\partial x^2}}&=\gamma^2(s)\cdot A(s)e^{-\gamma(s)x}+\gamma^2(s)\cdot B(s)e^{\gamma(s)x}\\\\
&=\gamma^2(s)V(x,s)
\end{align*}$$

となり、$(9)$式と等しくなる。

 

また、$(12)$式を$x$で1回微分すると、

$$\begin{align*}
\displaystyle{\frac{\partial I(x,s)}{\partial x^2}}&=-\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\left\{\gamma(s)\cdot A(s)e^{-\gamma(s)x}+\gamma(s)\cdot B(s)e^{\gamma(s)x}\right\}\\\\
&=-\displaystyle{\sqrt{\frac{Cs+G}{Ls+R}}}\cdot\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}V(x,s)\\\\
&=-(Cs+G)V(x,s)
\end{align*}$$

となり、$v(x,0)=0$としたときの$(4)$式と等しくなる。

任意の2地点における四端子定数

$x=0$のときの電圧および電流を$v(0,t),\ i(0,t)$として、これらをラプラス変換すると、

$$V(0,s)=\mathcal{L}\left\{v(0,t)\right\},\ I(0,s)=\mathcal{L}\left\{i(0,t)\right\}$$

という関係になる。

 

$(11),\ (12)$式において、$x=0$とすると、

$$\begin{cases}
V(0,s)=A(s)+B(s) &・・・(13)\\\\
I(0,s)=\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\left\{A(s)-B(s)\right\} &・・・(14)
\end{cases}$$

 

$(13),\ (14)$式から$A(s),\ B(s)$を求めると、

$$\begin{cases}
A(s)=\displaystyle{\frac{V(0,s)+Z_0(s)I(0,s)}{2}} ・・・(15)\\\\
B(s)=\displaystyle{\frac{V(0,s)-Z_0(s)I(0,s)}{2}} ・・・(16)
\end{cases}$$

 

$(15),\ (16)$式を$(11),\ (12)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
V(x,s)&=\frac{V(0,s)+Z_0(s)I(0,s)}{2}e^{-\gamma(s)x}+\frac{V(0,s)-Z_0(s)I(0,s)}{2}e^{\gamma(s)x}\\\\
&=\frac{e^{\gamma(s)x}+e^{-\gamma(s)x}}{2}V(0,s)-\frac{e^{\gamma(s)x}-e^{-\gamma(s)x}}{2}Z_0(s)I(0,s)\\\\
&=\cosh\gamma(s)x\cdot V(0,s)-\sinh\gamma(s)x\cdot Z_0(s)I(0,s) ・・・(17)
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
I(x,s)&=\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\left\{\displaystyle{\frac{V(0,s)+Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{-\gamma(s)x}-\displaystyle{\frac{V(0,s)-Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{\gamma(s)x}\right\}\\\\
&=-\frac{1}{Z_0(s)}\frac{e^{\gamma(s)x}-e^{-\gamma(s)x}}{2}V(0,s)+\frac{e^{\gamma(s)x}+e^{-\gamma(s)x}}{2}I(0,s)\\\\
&=-\frac{1}{Z_0(s)}\sinh\gamma(s)x\cdot V(0,s)+\cosh\gamma(s)x\cdot I(0,s) ・・・(18)
\end{align*}$$

 

行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} V(x,s) \\ I(x,s) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cosh\gamma(s)x & -Z_0(s)\sinh\gamma(s)x \\ -\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)x & \cosh\gamma(s)x \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} V(0,s) \\ I(0,s) \end{array}\right) ・・・(19)$$

 

ただし、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{Ls+R}{Cs+G}}}
\end{cases}$$

$(19)$式が任意の分布定数回路における電圧・電流の一般式となる。

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分布定数回路の四端子定数

$(17)±(18)\times Z_0(s)$を計算すると、

$$\begin{align*}
V(x,s)+Z_0(s)I(x,s)&=e^{-\gamma(s)x}V(0,s)+e^{-\gamma(s)x}Z_0(s)I(0,s)\\\\
\therefore e^{\gamma(s)x}\left\{V(x,s)+Z_0(s)I(x,s)\right\}&=V(0,s)+Z_0(s)I(0,s) ・・・(20)
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
V(x,s)-Z_0(s)I(x,s)&=e^{\gamma(s)x}V(0,s)-e^{\gamma(s)x}Z_0(s)I(0,s)\\\\
\therefore e^{-\gamma(s)x}\left\{V(x,s)-Z_0(s)I(x,s)\right\}&=V(0,s)-Z_0(s)I(0,s) ・・・(21)
\end{align*}$$

 

$(20),\ (21)$式より$V(0,s),\ I(0,s)$を求めると、

$$\begin{align*}
V(0,s)&=\frac{e^{\gamma(s)x}+e^{-\gamma(s)x}}{2}V(x,s)+\frac{e^{\gamma(s)x}-e^{-\gamma(s)x}}{2}Z_0(s)I(x,s)\\\\
&=\cosh\gamma(s)x\cdot V(x,s)-\sinh\gamma(s)x\cdot Z_0(s)I(x,s) ・・・(22)
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
I(0,s)&=\frac{1}{Z_0(s)}\frac{e^{\gamma(s)x}-e^{-\gamma(s)x}}{2}V(x,s)+\frac{e^{\gamma(s)x}+e^{-\gamma(s)x}}{2}I(x,s)\\\\
&=\frac{1}{Z_0(s)}\sinh\gamma(s)x\cdot V(x,s)+\cosh\gamma(s)x\cdot I(x,s) ・・・(23)
\end{align*}$$

 

行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} V(0,s) \\ I(0,s) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cosh\gamma(s)x & Z_0(s)\sinh\gamma(s)x \\ \displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)x & \cosh\gamma(s)x \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} V(x,s) \\ I(x,s) \end{array}\right) ・・・(24)$$

 

長さ$l$の送電線において、送電端(添字$s$)および受電端(添字$r$)の電圧・電流の式を$(24)$式から導くと、

$$\left(\begin{array}{c} V_s(s) \\ I_s(s) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cosh\gamma(s)l & Z_0(s)\sinh\gamma(s)l \\ \displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)l & \cosh\gamma(s)l \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} V_r(s) \\ I_r(s) \end{array}\right) ・・・(25)$$

 

$(25)$式が分布定数回路の四端子回路式となり、四端子定数$A(s),\ B(s),\ C(s),\ D(s)$は、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{cc} A(s) & B(s) \\ C(s) & D(s) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cosh\gamma(s)l & Z_0(s)\sinh\gamma(s)l \\ \displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)l & \cosh\gamma(s)l \end{array}\right) ・・・(26)
\end{align*}$$

 

ただし、$V(s)=\mathcal{L}\left\{v(s)\right\},\ I(s)=\mathcal{L}\left\{i(s)\right\}$であり、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{Ls+R}{Cs+G}}}
\end{cases}$$

 

特に、$(25)$式において、商用周波数領域における四端子定数$\dot{A},\ \dot{B},\ \dot{C},\ \dot{D}$は、$s\rightarrow j\omega$とおけば、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cosh\dot{\gamma}l & \dot{Z_0}\sinh\dot{\gamma}l \\ \displaystyle{\frac{1}{\dot{Z_0}}}\sinh\dot{\gamma}l & \cosh\dot{\gamma}l \end{array}\right) ・・・(27)
\end{align*}$$

 

ただし、

$$\begin{cases}
\dot{\gamma}=\sqrt{\left(j\omega L+R\right)\left(j\omega C+G\right)}\\\\
\dot{Z_0}=\displaystyle{\sqrt{\frac{j\omega L+R}{j\omega C+G}}}
\end{cases}$$

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