無ひずみ線路における電圧・電流

本記事では、無ひずみ線路における電圧・電流の式を導く。

無ひずみ線路の関係式

図1の送電線の分布定数回路において、回路定数$L,\ R,\ C,\ G$に次の関係がある線路を無ひずみ線路という。

$$\frac{R}{L}=\frac{G}{C}=\alpha ・・・(1)$$

図1 送電線の分布定数回路

 

一方、図1における分布定数回路の基礎方程式および電信方程式は、

$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}}=L\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}}+Ri(x,t) &・・・(2)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}}=C\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}}+Gv(x,t) &・・・(3)
\end{cases}$

$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}}+(LG+CR)\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}+RGv(x,t) &・・・(4)\\\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}}+(LG+CR)\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}+RGi(x,t) &・・・(5)
\end{cases}$

 

分布定数回路の基礎方程式および電信方程式についてはこちら↓

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$(2)~(5)$式において、$(1)$式を代入すると

$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}}=C\left\{\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}}+\alpha v(x,t)\right\} &・・・(6)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}}=L\left\{\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}}+\alpha i(x,t)\right\} &・・・(7)
\end{cases}$

$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=LC\left\{\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}}+2\alpha\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}+\alpha^2 v(x,t)\right\} &・・・(8)\\\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x^2}}=LC\left\{\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}}+2\alpha\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}+\alpha^2 i(x,t)\right\} &・・・(9)
\end{cases}$

基礎方程式・電信方程式からの導出

前項の式から、無ひずみ線路の電圧$v(x,t)$についての一般式を導く。

 

電圧$v(x,t)$について、次式の関係が成り立つような$v_0(x,t)$を用いて表現する。

$$v(x,t)=e^{-\alpha t}\cdot v_0(x,t) ・・・(10)$$

 

$(10)$式を$x$で2度偏微分すると、

$$\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=e^{-\alpha t}\cdot \displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial x^2}} ・・・(11)$$

 

次に、$(10)$式を$t$で偏微分すると、積の微分公式を用いて、

$$\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}}=-\alpha e^{-\alpha t}\cdot v_0(x,t)+e^{-\alpha t}\cdot \displaystyle{\frac{\partial v_0(x,t)}{\partial t}} ・・・(12)$$

 

さらに、$(12)$式を$t$で偏微分すると、積の微分公式を用いて、

$$\begin{align*}
\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}}&=\frac{\partial}{\partial t}\left\{-\alpha e^{-\alpha t}\cdot v_0(x,t)+e^{-\alpha t}\cdot \displaystyle{\frac{\partial v_0(x,t)}{\partial t}}\right\}\\\\
&=\alpha^2e^{-\alpha t}\cdot v_0(x,t)-\alpha e^{-\alpha t}\cdot\displaystyle{\frac{\partial v_0(x,t)}{\partial t}}-\alpha e^{-\alpha t}\cdot\displaystyle{\frac{\partial v_0(x,t)}{\partial t}}+e^{-\alpha t}\cdot\displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial t^2}}\\\\
&=e^{-\alpha t}\left\{\displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial t^2}}-2\alpha\displaystyle{\frac{\partial v_0(x,t)}{\partial t}}+\alpha^2v_0(x,t)\right\} ・・・(13)
\end{align*}$$

 

$(10)~(13)$式を$(8)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
e^{-\alpha t}\cdot \displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial x^2}}&=LCe^{-\alpha t}\left\{\displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial t^2}}-2\alpha\displaystyle{\frac{\partial v_0(x,t)}{\partial t}}+\alpha^2v_0(x,t)\right\}\\\\
&+2\alpha LCe^{-\alpha t}\left\{-\alpha v_0(x,t)+\displaystyle{\frac{\partial v_0(x,t)}{\partial t}}\right\}+\alpha^2 LCe^{-\alpha t}\cdot v_0(x,t)\\\\
&=LCe^{-\alpha t}\displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial t^2}}
\end{align*}$$

$$\therefore\displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 v_0(x,t)}{\partial t^2}} ・・・(14)$$

 

$(14)$式は無損失線路の記事の$(3)$式と同じ形であるため、$v_0(x,t)$の一般解は同記事の$(20)$式より、

$$v_0(x,t)=v_1\left(x-ut\right)+v_2\left(x+ut\right) ・・・(15)$$

 

したがって、無ひずみ線路における電圧$v(x,t)$の一般解は、$(10)$および$(15)$式より、

$$v(x,t)=e^{-\alpha t}\left\{v_1\left(x-ut\right)+v_2\left(x+ut\right)\right\} ・・・(16)$$

 

電流$i(x,t)$についても、上と同様の手順を用いて求めることができて、その一般解は、

$$i(x,t)=\frac{e^{-\alpha t}}{Z_0}\left\{v_1\left(x-ut\right)-v_2\left(x+ut\right)\right\} ・・・(17)$$

 

ただし、$(16),\ (17)$式において、

$$Z_0=\displaystyle{\sqrt{\frac{L}{C}}},\ u=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

 

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任意の回路の式からの導出

任意の分布定数回路の$s$領域における電圧・電流の一般解は、

$$\begin{cases}
V(x,s)=\cosh\gamma(s)x\cdot V(0,s)-\sinh\gamma(s)x\cdot Z_0(s)I(0,s) &・・・(18)\\\\
I(x,s)=-\frac{1}{\displaystyle{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)x\cdot V(0,s)+\cosh\gamma(s)x\cdot I(0,s) &・・・(19)
\end{cases}$$

 

ただし、$V(0,s),\ I(0,s)$は$x=0$における電圧・電流の値であり、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{Ls+R}{Cs+G}}}
\end{cases}$$

 

導出はこちら↓

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$(18),\ (19)$式を変形すると、

$$\begin{align}
V(x,s)&=\displaystyle{\frac{V(0,s)+Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{-\gamma(s)x}+\displaystyle{\frac{V(0,s)-Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{\gamma(s)x}&\\\\
&・・・(20)&\\\\
I(x,s)&=\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\left\{\displaystyle{\frac{V(0,s)+Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{-\gamma(s)x}-\displaystyle{\frac{V(0,s)-Z_0(s)I(0,s)}{2}}e^{\gamma(s)x}\right\}&\\\\
&・・・(21)&
\end{align}$$

 

無ひずみ線路の場合、$\displaystyle{\frac{R}{L}}=\frac{G}{C}=\alpha$であるから、$\gamma(s),\ Z_0(s)$は、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{L\left(s+\displaystyle{\frac{R}{L}}\right)\cdot C\left(s+\displaystyle{\frac{G}{C}}\right)}=\displaystyle{\frac{s+\alpha}{u}}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{L\left(s+\displaystyle{\frac{R}{L}}\right)}{C\left(s+\displaystyle{\frac{G}{C}}\right)}}}\displaystyle{\sqrt{\frac{L}{C}}}\equiv Z_0
\end{cases}$$

ただし、$u=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

 

したがって、$(20),\ (21)$式は、

$$\begin{align}
V(x,s)&=\displaystyle{\frac{V(s)+Z_0I(s)}{2}}e^{-\frac{\alpha x}{u}}e^{-\frac{x}{u}s}+\displaystyle{\frac{V(s)-Z_0I(s)}{2}}e^{\frac{\alpha x}{u}}e^{\frac{x}{u}s}&\\\\
&・・・(22)&\\\\
I(x,s)&=\displaystyle{\frac{1}{Z_0}}\left\{\displaystyle{\frac{V(s)+Z_0I(s)}{2}}e^{-\frac{\alpha x}{u}}e^{-\frac{x}{u}s}-\displaystyle{\frac{V(s)-Z_0I(s)}{2}}e^{\frac{\alpha x}{u}}e^{\frac{x}{u}s}\right\}&\\\\
&・・・(23)&
\end{align}$$

$(22),\ (23)$式において、$V(0,s),\ I(0,s)$は$s$のみの関数であるから、$V(s),\ I(s)$と表している。

 

$(22),\ (23)$式の両辺をラプラス逆変換すると、

$$\begin{align*}
v(x,t)&=\mathcal{L^{-1}}\left\{V(x,s)\right\}\\\\
&=e^{-\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}+e^{\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\\\\
&=e^{-\alpha t}\left\{e^{\alpha t}e^{-\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}+e^{\alpha t}e^{\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\right\}\\\\
&=e^{-\alpha t}\left\{e^{\alpha\left(t-\frac{x}{u}\right)}\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}+e^{\alpha\left(t+\frac{x}{u}\right)}\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\right\}\\\\
&\equiv v_1(x-ut)+v_2(x+ut) ・・・(24)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
i(x,t)&=\mathcal{L^{-1}}\left\{I(x,s)\right\}\\\\
&=\frac{1}{Z_0}\left\{e^{-\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}-e^{\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\right\}\\\\
&=\frac{e^{-\alpha t}}{Z_0}\left\{e^{\alpha t}e^{-\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}-e^{\alpha t}e^{\frac{\alpha x}{u}}\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\right\}\\\\
&=\frac{e^{-\alpha t}}{Z_0}\left\{e^{\alpha\left(t-\frac{x}{u}\right)}\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}-e^{\alpha\left(t+\frac{x}{u}\right)}\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}\right\}\\\\
&\equiv\frac{e^{-\alpha t}}{Z_0}\left\{v_1(x-ut)-v_2(x+ut)\right\} ・・・(25)
\end{align*}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}
\displaystyle{e^{\alpha\left(t-\frac{x}{u}\right)}\frac{v(t-\frac{x}{u})+Z_0i(t-\frac{x}{u})}{2}}&\equiv e^{-\frac{\alpha}{u}\left(x-ut\right)}\frac{v'(x-ut)+Z_0i'(x-ut)}{2}\\\\
&\equiv v_1(x-ut)\\\\
\displaystyle{e^{\alpha\left(t+\frac{x}{u}\right)}\frac{v(t+\frac{x}{u})-Z_0i(t+\frac{x}{u})}{2}}&\equiv e^{\frac{\alpha}{u}\left(x+ut\right)}\frac{v”(x+ut)+Z_0i”(x+ut)}{2}\\\\
&\equiv v_2(x+ut)
\end{align*}$$

とした。

 

$(24),\ (25)$式が無ひずみ線路の電圧・電流の一般解であり、$(16),\ (17)$式と一致する。