分布定数回路の基礎方程式と電信方程式

分布定数回路とは、回路素子が空間的に分布している電気回路のことをいう(対義語は集中定数回路)。

本記事では、分布定数回路の式を導入し、回路の電圧・電流がどのような挙動を示すかを導く。

分布定数回路の基礎方程式

図1に送電線の分布定数回路を示す。

図1 送電線の分布定数回路

 

図1において、送電線のある点から距離$x$の点における電圧および電流を$v(x,t),\ i(x,t)$とすると、微小区間$\Delta x$における電圧と電流の関係式は、

$\begin{cases}
v(x,t)-v(x+\Delta x,t)=L\Delta x\cdot\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}}+R\Delta x\cdot i(x,t) &・・・(1)\\\\
i(x,t)-i(x+\Delta x,t)=C\Delta x\cdot\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}}+G\Delta x\cdot v(x,t) &・・・(2)
\end{cases}$

 

$(1),\ (2)$式の両辺を$\Delta x$で割ると、

$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{v(x,t)-v(x+\Delta x,t)}{\Delta x}}=L\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}}+Ri(x,t) &・・・(3)\\\\
\displaystyle{\frac{i(x,t)-i(x+\Delta x,t)}{\Delta x}}=C\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}}+Gv(x,t) &・・・(4)
\end{cases}$

 

$(3),\ (4)$式について、$\Delta x\rightarrow 0$とすれば、

$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}}=L\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}}+Ri(x,t) &・・・(5)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}}=C\displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}}+Gv(x,t) &・・・(6)
\end{cases}$

 

$(5),\ (6)$式は分布定数回路の基礎方程式となる。

電信方程式

$(5),\ (6)$式の両辺を$x$および$t$で微分すると、

$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=L\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x\partial t}}+R\frac{\partial i(x,t)}{\partial x} &・・・(7)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x^2}}=C\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x\partial t}}+G\frac{\partial v(x,t)}{\partial x} &・・・(8)
\end{cases}$

$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x\partial t}}=L\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}}+R\frac{\partial i(x,t)}{\partial t} &・・・(9)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x\partial t}}=C\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}}+G\frac{\partial v(x,t)}{\partial t} &・・・(10)
\end{cases}$

 

$(7)$と$(10)$, および$(8)$と$(9)$式で、それぞれ$\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x\partial t}},\ \displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x\partial t}}$を消去すると、

$\begin{cases}
-\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=-LC\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}}-LG\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}+R\frac{\partial i(x,t)}{\partial x} &・・・(11)\\\\
-\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x^2}}=-LC\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}}-CR\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}+G\frac{\partial v(x,t)}{\partial x} &・・・(12)
\end{cases}$

 

さらに、$(11)$に$(6)$,$(12)$に$(5)$式を代入して、それぞれ$\displaystyle{\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}},\ \displaystyle{\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}}$を消去し、両辺に$-1$をかけると、

$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2}}+(LG+CR)\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}+RGv(x,t) &・・・(13)\\\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial x^2}}=LC\displaystyle{\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}}+(LG+CR)\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}+RGi(x,t) &・・・(14)
\end{cases}$

 

$(13),\ (14)$式はそれぞれ$v(x,t),\ i(x,t)$のみを含んだ式となり、歴史的に有線通信用ケーブルの理論において最初に導入されたことから、電信方程式という。

無損失線路における電圧・電流

図1の送電線の分布定数回路において、$R=G=0$が成立する場合、その線路を無損失線路という。

無損失回路における電圧・電流の一般解は、

$$\begin{cases}
v(x,t)=v_1\left(x-ut\right)+v_2\left(x+ut\right) &・・・(15)\\\\
i(x,t)=\displaystyle{\frac{1}{Z_0}}\left\{v_1\left(x-ut\right)-v_2\left(x+ut\right)\right\} &・・・(16)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$Z_0=\displaystyle{\sqrt{\frac{L}{C}}},\ u=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$Z_0$はサージインピーダンスという。また$u$は速度を表す。

 

一般解の導出はこちら↓

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$(15),\ (16)$式より、無損失線路における電圧は、図2のように距離$x$に沿って速度$u$で進む進行波(前進波)と、同じく速度$u$で逆方向に進む進行波(後進波)が重畳する形で表すことができる。

図2 送電線の進行波(電圧)

電流についても図3のように前進波と後進波の重畳となるが、後進波の符号が逆となる。

図3 送電線の進行波(電流)

無ひずみ線路における電圧・電流

図1の送電線の分布定数回路において、回路定数$L,\ R,\ C,\ G$に次の関係がある線路を無ひずみ線路という。

$$\frac{R}{L}=\frac{G}{C}=\alpha ・・・(17)$$

 

無ひずみ線路における電圧$v(x,t)$の一般解は、

$$\begin{cases}
v(x,t)=e^{-\alpha t}\left\{v_1\left(x-ut\right)+v_2\left(x+ut\right)\right\} &・・・(18)\\\\
i(x,t)=\frac{e^{-\alpha t}}{Z_0}\left\{v_1\left(x-ut\right)-v_2\left(x+ut\right)\right\} &・・・(19)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$Z_0=\displaystyle{\sqrt{\frac{L}{C}}},\ u=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

 

一般解の導出はこちら↓

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$(18),\ (19)$式より、無ひずみ線路における電圧・電流は、距離$x$に沿って速度$u$で進む進行波(前進波)と、同じく速度$u$で逆方向に進む進行波(後進波)が重畳する形となり、かつ減衰項$e^{-\alpha t}$により減衰しながら伝搬していく波形として表すことができる(電流については、後進波の符号が逆となる)。

任意の回路における電圧・電流

前項までの回路定数の条件によらず、任意の分布定数回路における電圧・電流の一般式は、ラプラス変換後の$s$領域における式で表すと、

$$\begin{cases}
V(x,s)=\cosh\gamma(s)x\cdot V(0,s)-\sinh\gamma(s)x\cdot Z_0(s)I(0,s) &・・・(20)\\\\
I(x,s)=-\frac{1}{\displaystyle{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)x\cdot V(0,s)+\cosh\gamma(s)x\cdot I(0,s) &・・・(21)
\end{cases}$$

 

行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} V(x,s) \\ I(x,s) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cosh\gamma(s)x & -Z_0(s)\sinh\gamma(s)x \\ -\displaystyle{\frac{1}{Z_0(s)}}\sinh\gamma(s)x & \cosh\gamma(s)x \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} V(0,s) \\ I(0,s) \end{array}\right) ・・・(22)$$

 

ただし、$V(0,s),\ I(0,s)$は$x=0$における電圧・電流の値であり、

$$\begin{cases}
\gamma(s)=\sqrt{\left(Ls+R\right)\left(Cs+G\right)}\\\\
Z_0(s)=\displaystyle{\sqrt{\frac{Ls+R}{Cs+G}}}
\end{cases}$$

 

なお、時間$t$の領域における電圧・電流は、

$$v(x,t)=\mathcal{L^{-1}}\left\{V(x,s)\right\},\ i(x,t)=\mathcal{L^{-1}}\left\{I(x,s)\right\}$$

で求められる。

 

一般解の導出はこちら↓

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