接触抵抗の理論

ガス開閉器等、金属導体同士が接触する機器においては、接触子間に生ずる接触抵抗による障害が発生する可能性がある。

本記事では、接触抵抗が生ずる理論を電磁気学的なモデルを導入して記述する。





導体の接触面と集中抵抗

2つの導体の接触面

図1のように、2つの平面をもつ金属導体が互いに機械的に加圧された場合の、導体同士の接触面(上から見た図)を考える。

 

図1 導体同士の接触面(上から見た図)

 

図1のモデルでは、2つの導体が対向する平面部分を見かけの接触面$A_a$, 導体が加圧されて機械的に接触している部分を加圧面$A_b$で表す。

加圧面$A_b$は、$A_a$中にある凸部同士が接触することにより形成される。

 

同図のように、加圧面$A_b$が占める領域は$A_a$全体のごく一部であり、$A_b$の割合は導体表面の平坦度に依存する。

 

さらに、導体表面に酸化膜などの皮膜が生成されている場合、$A_b$全域の中で導体表面の微細な凹凸の影響により、さらに局所的に圧力が高い部分が存在し、皮膜破壊が起こる。

この状態で導体に電流を流すと、電流は皮膜破壊を生じた部分に集中して流れる。

 

この微細な通電部分を接触点といい、導体内部の周囲から接触点に向かって電流は集中する。

 

したがって、接触点において、電流密度は他の部分と比較して大きくなるため、抵抗も増加する。

この接触点における抵抗を集中抵抗という。

 

電流集中モデル

前項の集中抵抗の式を導出する。

 

理想的な電流集中のモデルとして、図2のように2つの半無限導体間に抵抗率がゼロの完全導体球を置いた場合を考える。

 

図2 2つの半無限導体と完全導体球

 

半無限導体である導体1から導体2に流れる電流は、図2のように導体球を中心として放射状に分布する。

 

ここで、導体1において、導体球の中心から半径$r\sim r+dr$の間にある半球部分の抵抗$dR$は、導体の抵抗率を$\rho$とすると、

$$dR=\frac{\rho}{2\pi r^2}dr ・・・(1)$$

 

導体球の表面から導体1の無限遠までの導体内全域で生ずる集中抵抗$R$は、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
R&=\int^{\infty}_{b}dR\\\\
&=\frac{\rho}{2\pi}\int^{\infty}_{b}\frac{dr}{r^2}\\\\
&=\frac{\rho}{2\pi b} ・・・(2)
\end{align*}$$

 

一方、導体内の電流集中部分における電流分布は、完全導体球に電荷を与えた場合に現れる電気力線の分布と相似であると考えられる。

かつ、電流は抵抗に反比例し、電荷は静電容量に比例するため、集中抵抗$R$は導体の静電容量$C$に反比例する。

 

ここで、半径$a$の導体円板および半径$b$の導体球について、静電容量をそれぞれ$C_a$および$C_b$とすると、その式は、

$$\begin{cases}
C_a&=8\varepsilon_0 a\\\\
C_b&=4\pi\varepsilon_0 b
\end{cases} ・・・(3)$$

ここで、$\varepsilon_0$は真空における誘電率である。

 

このとき、導体円板と球の電荷および電位を同じであると設定すれば、各導体の半径について、$(3)$式を比較して、

$$2a=\pi b ・・・(4)$$

という関係が導かれる。

 

したがって、図2の半径$b$の導体球を半径$a$の円形導体に置き換えたとすれば、その微小面における集中抵抗$R_a$は$(2),\ (4)$式より、

$$R_a=\frac{\rho}{4a} ・・・(5)$$

 

集中抵抗$R_a$は互いに接触する2つの導体それぞれに生ずるので、抵抗率が同じ金属導体からなる一組の接触子に生ずる集中抵抗は、各導体の集中抵抗の直列接続となり、$2R_a$で表される。

 

接触点の集中抵抗

一方、半径$a$の円形導体面が各半無限導体面に密着している(=接触点となっている)として、接触面積を$S$とすると、集中抵抗$R_c$は$(5)$式および$S=\pi a^2\rightarrow a=\displaystyle{\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\pi}}}$の関係を用いて、

$$R_c=\frac{\rho\sqrt{\pi}}{4\sqrt{S}} ・・・(6)$$

 

次に、図1のような導体の平面同士の接触状態のように、大きさの異なる多数の接触点が点在する場合の集中抵抗を考える。

 

各接触点の電流の相互作用がないと仮定すれば、$N$個の接触点がある場合の集中抵抗$R_{cN}$は、1つの接触点に生ずる抵抗$R_c$$N$並列接続にて表すことができると考えられるので、$(6)$式より、

$$R_{cN}=\frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\rho}{4a_k}\right)^{-1}}} ・・・(7)$$

 

$(7)$式において、各接触点の半径がすべて$a$で等しいとすれば、

$$R_{cN}=\frac{\rho}{4aN} ・・・(8)$$

となり、接触点の数$N$に反比例する。

 

また、各接触点の面積を総和した接触面積を$S_a=S\times N=\pi aN$とすれば、集中抵抗$R_{cN}$は$(8)$式より、

$$R_{cN}=\frac{\rho\sqrt{\pi}}{4\sqrt{SN}} ・・・(9)$$

 

接触点間の相互作用を考慮した場合

$N$個の接触点がある場合の集中抵抗は$(9)$式にて表されるが、実際には各接触点が近接した状態において、各点に流れる電流による磁束が相互作用を及ぼし、集中抵抗は$(9)$式より大きくなると考えられる。

 

一般的には、異なる大きさの接触点は図3左のように不規則に分布している。

ここでは、簡単のため同図右のように半径$a$の大ささの等しい円形接触点が格子状に分布しているものとみなすモデル(図3右)を導入する。

 

図3 接触点の格子モデル

 

このとき、接触抵抗$R_{cN}$の式は次式で与えられる。

$$R_{cN}=\frac{\rho}{2\pi Na}\tan^{-1}\frac{\sqrt{l^2-a^2}}{a}-\frac{0.6\rho\sqrt{l^2-a^2}}{4Nl^2}+\frac{\rho}{4r} ・・・(10)$$

ここで、$r$は見かけの接触面の半径、$l$は格子状に配列された接触点の間隔の$\displaystyle{\frac{1}{2}}$である。

 

$(10)$式より、半径$a$に対し$l$が十分に大きい、すなわち各接触点同士が十分に離れており相互作用が及ぼしえない場合は、(この場合は$r$も十分に大きいので)第2項および第3項はゼロに近づき、$(10)$式は$(8)$式に等しくなる。

 

逆に、格子同士が相互に密着した状態、すなわち$l=a$の場合は、$(10)$式は第3項$\displaystyle{\frac{\rho}{4r}}$のみによって与えられる。

 

 

皮膜抵抗

金属導体の表面に酸化膜などの皮膜が形成された場合、電流は皮膜を介して流れる。

皮膜の抵抗率は金属導体よりも一般的に大きく、この部分の抵抗を皮膜抵抗という。

 

皮膜抵抗$R_r$の式は次式で与えられる。

$$R_r=\frac{\rho_r\cdot D_r}{\pi a^2} ・・・(11)$$

ここで、$\rho_r$は皮膜の抵抗率、$D_r$は皮膜の厚さ、$a$は接触点の半径である。

 

接触抵抗は集中抵抗$R_{cN}$と皮膜抵抗$R_r$の和で表される。

 

接触抵抗に起因する問題

通電路に大電流が通電されると、接触面の形状によっては前項までに述べてきた接触抵抗に起因するジュール熱が発生し、導体の機械的性質の変化および溶融を引き起こす可能性がある。

 

特に、遮断器などの導体を開閉する接触子をもつ機器において、接触抵抗による障害は機器の動作、ひいては接続されている系統全体への影響を及ぼしかねない。

このため、近年の開閉器の性能向上に伴い、通電時および接触性能に関する研究も進められている。

 

参考文献

  • R.Holm: “Electric Conlacts”, 4th.Edit., Springer, New York (1967)