クラーク変換法の導入 ~α-β-0成分とは~

対称座標法における正相成分と逆相成分」の記事において、三相電気量($a-b-c$領域)は対称分領域($0-1-2$領域)に変数変換できることが分かった。


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対称座標法と同様に、「クラーク変換法」という変数変換法は、$a-b-c$領域の値を「$\alpha-\beta-0$領域」の値に変換するという方法である。今回はその方法と対称座標法との相関関係について考察する。

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a―b-c領域→対称分領域への変換

不平衡かつベクトル和がゼロでない三相電気量$\dot{V_a},\dot{V_b},  \dot{V_c}$について考える(図1の場合は電圧)。

図1  不平衡かつベクトル和がゼロでない三相ベクトル

まず、対称座標表の考察①の時と同様に、ここから零相成分$\dot{V_0}$を取り出したのが図2である。

図2 零相成分の分離

同図より、 $\dot{V_a},\dot{V_b},  \dot{V_c}$から$\dot{V_0}$を分離すると、不平衡かつベクトル和がゼロである三相ベクトル $\dot{V’_a},\dot{V’_b},  \dot{V’_c}$ が残る。

さらに、 $\dot{V’_a},\dot{V’_b},  \dot{V’_c}$ は対称座標法の考察②で示したように、正相成分$\dot{V_1}$と逆相成分$\dot{V_2}$に分解できるのであった(図3)。

図3 零相・正相・逆相ベクトルへの分離

以上が、任意の三相電気量($a-b-c$領域)→対称成分($0-1-2$領域)への変換の概要である。

正相・逆相成分→α・β成分への変換

正相ベクトルの成分分解

図3の$\dot{V_1}$, $\dot{V_2}$について、それぞれ別々に分離したのが図4である。

図4 正相ベクトルおよび逆相ベクトル

ところで、図4にも一部使われているベクトルオペレータ$a$および$a^2$を式で表すと、

$a=\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right), a^2=\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $である。

この式から考察すると、例えば図4の$a\dot{V_1}$は、
$$ a\dot{V_1} =-\frac{1}{2}\dot{V_1}+j\frac{\sqrt{3}}{2} \dot{V_1}$$
とも書ける。すなわち、$-\frac{1}{2}\dot{V_1}$というベクトルと$j\frac{\sqrt{3}}{2} \dot{V_1}$が合成されて$a\dot{V_1}$が生成されるとも解釈できる。

これを図で表したのが図5である。
まず、$\dot{V_1}$を基準にした実軸、直行する虚軸を設定する。
$a\dot{V_1}$は上記で示したように$-\frac{1}{2}\dot{V_1}$と$j\frac{\sqrt{3}}{2} \dot{V_1}$ の合成ベクトル、同様に$a^2\dot{V_1}$は上記で示したように$-\frac{1}{2}\dot{V_1}$と$-j\frac{\sqrt{3}}{2} \dot{V_1}$ の合成ベクトルと考えることができる。

図5 正相ベクトルの成分分解

逆相ベクトルの成分分解

逆相ベクトルについても同様のことが言える。これを図6に示す。

図6 逆相ベクトルの成分分解

これらの処理により、正相・逆相ベクトルを各成分の実軸に平行および直行する成分に分解することができた。

α成分・β成分

次に、各成分同士でそれぞれベクトルを合成するのだが、これらの成分を新たに定義して、

・正相・逆相ベクトルを分解した各成分のうち、各実軸に平行な成分を集めたもの$\alpha$成分
$\dot{V_\alpha}=\dot{V_1}+\dot{V_2}   ・・・(1) $

・同、各実軸に直行する成分を集めたもの$\beta$成分
$\dot{V_\beta}=-j(\dot{V_1}-\dot{V_2})  ・・・(2)$

まず、図5および図6のうち$\alpha$成分について、定義に従って合成した結果が図7となる。

図7 $\alpha$成分の合成

同様に、$\beta$成分について、定義に従って合成した結果が図8となる。
(ベクトルの向きに注意。定義では下向き(最終的に$b$相に合成するベクトルの向き)が正となる)

図8 $\beta$成分の合成

最終的に考慮する零相成分も含め、各成分のベクトルをまとめたのが図9である。

図9 $\alpha-\beta-0$成分

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a―b-c成分からα-β-0成分へ

最後に、冒頭の三相ベクトル$\dot{V_a},\dot{V_b},  \dot{V_c}$が$\alpha$, $\beta$, および零相成分で分解できるか確認したい。

対称座標法の定義式および$(1)$, $(2)$式より

$\dot{V_a}=\dot{V_0}+\dot{V_1}+\dot{V_2}\\
 =\dot{V_\alpha}+\dot{V_0}               ・・・(3) $

$\dot{V_b}= \dot{V_0}+a^2\dot{V_1}+a\dot{V_2}\\
 = \dot{V_0}+(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{V_1}+(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}) \dot{V_2}\\
 = \dot{V_0}-\frac{1}{2}(\dot{V_1}+\dot{V_2})-j\frac{\sqrt{3}}{2}(\dot{V_1}-\dot{V_2})\\
 = -\frac{1}{2}\dot{V_\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{2}\dot{V_\beta}+ \dot{V_0}          ・・・(4) $

$\dot{V_c}= \dot{V_0} +a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2}\\
 = \dot{V_0} +(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{V_1}+(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}) \dot{V_2}\\
 = \dot{V_0} -\frac{1}{2}(\dot{V_1}+\dot{V_2})-j\frac{\sqrt{3}}{2}(-\dot{V_1}+\dot{V_2})\\
 = -\frac{1}{2}\dot{V_\alpha}-\frac{\sqrt{3}}{2}\dot{V_\beta}+ \dot{V_0}          ・・・(5) $

これらの式を描画したのが図10である。
同図より、$\alpha-\beta-0$の各成分の合成が$a-b-c$電気量を表していることが分かる。

図10  $\alpha-\beta-0$ベクトルの合成結果

 

クラーク変換法の特徴

以上より、対称座標法における正相・逆相成分から新たに$\alpha$, $\beta$成分を定義し、$a-b-c$領域における任意の三相電気量を変換するクラーク変換法について解説した。

クラーク変換法の特徴は、$\dot{V_\alpha}$, $\dot{V_\beta}$, $ \dot{V_0} $にかかる係数がすべて実数である点である。

これは、各成分の具体的な式が分からない場合(例えばオシロスコープで測定した波形など)も、実数倍して足し合わせれば、合成後の値(波形)も導くことができる。
(対称座標法は各式の係数が複素数なので、上記のようなことはできない)


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