発電機巻線と鎖交磁束の関係式

本記事では、発電機における電圧の関係式であるパークの方程式に続き、発電機の挙動を表す上で重要な発電機巻線の鎖交磁束の関係式について考える。

発電機巻線の鎖交磁束関係式

電機子巻線

図1の発電機の基本回路において、電機子巻線の鎖交磁束と電流について、下記の式が成り立つ。

図1 発電機の基本回路

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \it{\Psi}_a\left(t\right) \\ \it{\Psi}_b\left(t\right) \\ \it{\Psi}_c\left(t\right) \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{ccc} -l_{aa}(t) & m_{ab}(t) & m_{ac}(t) \\ m_{ba}(t) & -l_{bb}(t) & m_{bc}(t) \\ m_{ca}(t) & m_{cb}(t) & -l_{cc}(t) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} i_a(t) \\ i_b(t) \\ i_c(t)\end{array}\right)\\\\
&+\left(\begin{array}{ccc} m_{afd}(t) & m_{aDd}(t) & m_{aDq}(t) \\ m_{bfd}(t) & m_{bDd}(t) & m_{bDq}(t) \\ m_{cfd}(t) & m_{cDd}(t) & m_{cDq}(t) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} i_{fd}(t) \\ i_{Dd}(t) \\ i_{Dq}(t)\end{array}\right)  ・・・(1)\end{align*}$$

ここで、

$l_{aa}(t)$ほか:各相電機子巻線の自己インダクタンス
$m_{ba}(t)$ほか:各相電機子巻線間の相互インダクタンス
$m_{afd}(t)$ほか:各相電機子巻線と界磁各巻線間の相互インダクタンス

$(1)$式は、(鎖交磁束)=(自己誘導による磁束)-(相互誘導による磁束)という形をとっている。ここでは界磁における各巻線電流を正にとっており、第1項における自己インダクタンスの符号はマイナスになる。

また、電機子巻線間の相互配置関係は時間によって変化しないが、界磁磁極の位置で電機子-界磁間の空隙内の磁気抵抗が変化するので、各巻線間の鎖交磁束も時間によって変わりうる。したがって、$(1)$式における各インダクタンスは時間$t$の関数で与えられると考える。

界磁巻線・制動巻線

図1の界磁巻線および制動巻線の鎖交磁束と電流について、下記の式が成り立つ。

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \it{\Psi}_{fd}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{Dd}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{Dq}\left(t\right) \end{array}\right)&=-\left(\begin{array}{ccc} m_{fda}(t) & m_{fdb}(t) & m_{fdc}(t) \\ m_{Dda}(t) & m_{Ddb}(t) & m_{Ddc}(t) \\ m_{Dqa}(t) & m_{Dqb}(t) & m_{Dqc}(t) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} i_a(t) \\ i_b(t) \\ i_c(t)\end{array}\right)\\\\
&+\left(\begin{array}{ccc} L_{ffd} & M_{fDd} & 0 \\ M_{fDd} & L_{DDd} & 0 \\ 0 & 0 & L_{DDq} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} i_{fd}(t) \\ i_{Dd}(t) \\ i_{Dq}(t)\end{array}\right)  ・・・(2)
\end{align*}$$

ここで、

$m_{fda}(t)$ほか:界磁各巻線間と各相電機子巻線の相互インダクタンス
$L_{ffd}$ほか:界磁各巻線の自己インダクタンス
$M_{fDd}$ほか: 界磁各巻線間の相互インダクタンス

$(2)$式も$(1)$式と同様に、(鎖交磁束)=(自己誘導による磁束)-(相互誘導による磁束)という形をとっている。界磁巻線の電流を正にとると、電機子巻線電流は逆方向になる。

一方、制動巻線は電機子巻線による磁束を打ち消す方向にはたらくので、電機子巻線電流の逆方向の逆方向、すなわち界磁巻線電流と同方向になる。これらの電流によってつくられる磁束の符号に注意すると、$(2)$式のようになる。

また、界磁巻線および制動巻線は、$d-q$軸に対して静止している(一緒に回転している)と考えるので、各巻線間のインダクタンスは時間$t$に関係ない定数となることに注意する。

電機子巻線のインダクタンス

インダクタンスの式の考察

各相電機子巻線の自己インダクタンス(例えば$l_{aa}(t)$)が作り出す鎖交磁束は、電機子の鉄心内のほか、実際には電機子-界磁間の空隙内や界磁表面を通る。

図1からもわかるように、界磁は均一な円筒形状ではないため、界磁の位置によって磁束が通る磁路の磁気抵抗は変化しうる(=時間$t$の関数となる)。このとき、界磁は電気角$\pi$ごとに(半周ごとに)対称な構造となっている(=周期$\pi$の時間関数である)。
さらに、鎖交磁束は$d$軸と$a$相巻線の方向が一致した場合(すなわち、$\theta_a=0$)に最大となる。

以上の考察から、各相電機子巻線の自己インダクタンス(ここでは$l_{aa}(t)$)は、下記の式で表される。

$$l_{aa}(t)=L_{aa0}+L_{aa2}\cos2\theta_a ・・・(3)$$

ただし、$\theta_a=\omega t,\ L_{aa0}$および$\ L_{aa2}$は定数である。

同様の考え方で、各相電機子巻線間の相互インダクタンス(ここでは$m_{ab}(t)$)は、下記の式で表される。

$$m_{ab}(t)=m_{ba}(t)=M_{ab0}+M_{ab2}\cos\left(\theta_a +\theta_b\right) ・・・(4)$$

ただし、$\theta_a=\omega t,\ \theta_b=\omega t-\displaystyle{\frac{2}{3}\pi},\ M_{ab0}$および$M_{ab2}$は定数である。

$(3),\ (4)$式における各定数の導出は次項に記載する。

電機子巻線の自己インダクタンス

$a$相巻線電流$i_a(t)$による起磁力を$_{a}F_{m},\ $各軸方向の磁気抵抗を ${\mathcal R}_{d},\ {\mathcal R}_{q}$とすると、鎖交磁束の各軸方向成分$\it{\Psi}_{ad},\ \it{\Psi}_{aq}$は、磁気回路のオームの法則$\it{\Psi}=\displaystyle{\frac{F_m}{{\mathcal R}_{m}}}$より、

$$\begin{align*}
\it{\Psi}_{ad}&=\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{d}}}\cos\theta_a &・・・(5)\\\\
\it{\Psi}_{aq}&=\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{q}}}\cos\left(\theta_a+ \displaystyle{\frac{\pi}{2}}\right)=-\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{q}}}\sin\theta_a &・・・(6)
\end{align*}$$

したがって、電機子巻線電流$i_a(t)$がつくり出し、$a$相巻線と鎖交する磁束$\it{\Psi}_{aa}$は、図2の$a$相巻線と各鎖交磁束との関係から、三角関数の2倍角の公式を利用して、

図2 $a$相巻線と鎖交磁束との関係

$$\begin{align*}
\it{\Psi}_{aa}=-l_{aa}\left(t\right)i_a\left(t\right)&=\it{\Psi}_{ad}\cos\theta_a\rm{\ +\ }\it{\Psi}_{aq}\cos\left(\theta_a\rm{\ +\ }\frac{\pi}{\rm{2}}\right)\\\\
&=\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{d}}}\cos^2\theta_a+\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{q}}}\sin^2\theta_a \\\\
&= \displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{d}}}\frac{1+\cos2\theta_a}{2}+\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{q}}}\frac{1-\cos2\theta_a}{2}\\\\ &=\frac{_{a}F_m}{2}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}+\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)+\frac{_{a}F_m}{2}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}-\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)\cos2\theta_a ・・・(7)
\end{align*}$$

$(7)$式を$(3)$式と比較して、$L_{aa0}$および$L_{aa2}$を求めると、

$$\begin{align*}
L_{aa0}&=-\frac{_{a}F_m}{2i_a(t)}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}+\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)\\\\
L_{aa2}&=-\frac{_{a}F_m}{2i_a(t)}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}-\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)
\end{align*}$$

であることが分かる。

$b,\ c$相巻線における値$l_{bb}(t),\ l_{cc}(t)$も同様にして求められる。

電機子巻線間の相互インダクタンス

次に、電機子巻線電流$i_a(t)$がつくり出し、$b$相巻線と鎖交する磁束$\it{\Psi}_{ba}$は、三角関数の積和の公式を利用して、

$$\begin{align*}
\it{\Psi}_{ba}&=m_{ba}(t)i_a(t)=\it{\Psi}_{ad}\cos\theta_b+\it{\Psi}_{aq}\cos\left(\theta_b+\frac{\pi}{2}\right)\\\\
&=\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{d}}}\cos\theta_a\cos\theta_b+\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{q}}}\sin\theta_a\sin\theta_b\\\\
&=\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{d}}}\frac{\cos\left(\theta_a-\theta_b\right)+\cos\left(\theta_a+\theta_b\right)}{2}+\displaystyle{\frac{_{a}F_m}{{\mathcal R}_{q}}} \frac{\cos\left(\theta_a-\theta_b\right)-\cos\left(\theta_a+\theta_b\right)}{2} \\\\ &=\frac{_{a}F_m}{2}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}+\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)\cos\left(\theta_a-\theta_b\right) +\frac{_{a}F_m}{2}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}-\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right) \cos\left(\theta_a+\theta_b\right)\\\\
&=\frac{_{a}F_m}{2}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}+\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)\cos\frac{2}{3}\pi+\frac{_{a}F_m}{2}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}-\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right) \cos\left(\theta_a+\theta_b\right)\\\\ &=-\frac{_{a}F_m}{4}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}+\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)+\frac{_{a}F_m}{2}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}-\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right) \cos\left(\theta_a+\theta_b\right)  ・・・(8)
\end{align*}$$

$(8)$式と$(4)$式を比較して、$M_{aa0}$および$M_{aa2}$を求めると、

$$\begin{align*}
M_{ab0}&=-\frac{_{a}F_m}{4i_a(t)}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}+\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)=\frac{1}{2}L_{aa0}\\\\
M_{ab2}&=\frac{_{a}F_m}{2i_a(t)}\left(\frac{1}{{\mathcal R}_{d}}-\frac{1}{{\mathcal R}_{q}}\right)=-L_{aa2}
\end{align*}$$

その他の値$l_{bc}(t),\ l_{ca}(t)$も同様にして求められる。

電機子巻線-界磁・制動巻線間の相互インダクタンス

$a$相巻線と、$d$軸上の界磁巻線の鎖交磁束$\it{\Psi}_{afd}$による相互インダクタンスは、これまでの考え方と同様に、$a$相巻線が$d$軸に一致したときに最大となり、かつ電気角が$\pi$進むと逆極性になるため、

$$m_{afd}(t)=m_{fda}(t)=M_{afd}\cos\theta_a ・・・(9)$$

制動巻線についても同様に、$a$相巻線との相互インダクタンスは、$d$軸および$q$軸上の巻線について考えると、

$$\begin{align*}
m_{aDd}(t)&=m_{Dda}(t)=M_{aDd}\cos\theta_a ・・・(10)\\\\
m_{aDq}(t)&=m_{Dqa}(t)=M_{aDq}\cos\left(\theta_a+\frac{\pi}{2}\right)=-M_{aDq}\sin\theta_a ・・・(11)
\end{align*}$$

$b,\ c$相巻線に対する値も同様にして求められる。

鎖交磁束関係式まとめ

(鎖交磁束)=(自己誘導による磁束)-(相互誘導による磁束)となるようにして、$(1),\ (2)$式のインダクタンスに$(3)~(11)$ほかで求めた式を代入すると、

$$\begin{align*}
&\left(\begin{array}{c} \it{\Psi}_a\left(t\right) \\ \it{\Psi}_b\left(t\right) \\ \it{\Psi}_c\left(t\right) \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -\it{\Psi}_{aa}\left(t\right)+\it{\Psi}_{ab}\left(t\right)+\it{\Psi}_{ac}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{ba}\left(t\right)-\it{\Psi}_{bb}\left(t\right)-\it{\Psi}_{bc}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{ca}\left(t\right)+\it{\Psi}_{cb}\left(t\right)-\it{\Psi}_{cc}\left(t\right) \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} \it{\Psi}_{afd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{aDd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{aDq}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{bfd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{bDd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{bDq}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{cfd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{cDd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{cDq}\left(t\right) \end{array}\right) \\\\
&=\scriptsize{\left(\begin{array}{ccc} -L_{aa0}-L_{aa2}\cos2\omega t & M_{ab0}+M_{ab2}\cos\left(2\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) & M_{ab0}+M_{ab2}\cos\left(2\omega t+\frac{2}{3}\right) \\ M_{ab0}+M_{ab2}\cos\left (2\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) & -L_{aa0}-L_{aa2}\cos\left(2\omega t+\frac{2}{3}\pi\right) & M_{ab0}+M_{ab2}\cos2\omega t \\ M_{ab0}+M_{ab2}\cos\left(2\omega t+\frac{2}{3}\right) & M_{ab0}+M_{ab2}\cos2\omega t & -L_{aa0}-L_{aa2}\cos\left(2\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) \end{array}\right)}\left(\begin{array}{c} i_a(t) \\ i_b(t) \\ i_c(t)\end{array}\right)\\\\
&\quad+\scriptsize{\left(\begin{array}{ccc} M_{afd}\cos\omega t & M_{aDd}\cos\omega t & -M_{aDq}\sin\omega t \\ M_{afd}\cos\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) & M_{aDd}\cos\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) & -M_{aDq}\sin\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) \\ M_{afd}\cos\left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right) & M_{aDd}\cos\left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right) & -M_{aDq}\sin\left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} i_{fd}(t) \\ i_{Dd}(t) \\ i_{Dq}(t)\end{array}\right)}\\\\
&  ・・・(12)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\left(\begin{array}{c} \it{\Psi}_{fd}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{Dd}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{dq}\left(t\right) \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -\it{\Psi}_{fda}\left(t\right)-\it{\Psi}_{fdb}\left(t\right)-\it{\Psi}_{fdc}\left(t\right) \\ -\it{\Psi}_{Dda}\left(t\right)-\it{\Psi}_{Ddb}\left(t\right)-\it{\Psi}_{Ddc}\left(t\right) \\ -\it{\Psi}_{Dqa}\left(t\right)-\it{\Psi}_{Dqb}\left(t\right)-\it{\Psi}_{Dqc}\left(t\right) \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \it{\Psi}_{ffd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{fDd}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{Dfd}\left(t\right)+\it{\Psi}_{DDd}\left(t\right) \\ \it{\Psi}_{DDq}\left(t\right) \end{array}\right) \\\\
&=\small{-\left(\begin{array}{ccc} M_{afd}\cos\omega t & M_{afd}\cos\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) & M_{afd}\cos\left(\omega t+\frac{2}{3}\right) \\ M_{aDd}\cos\omega t & M_{aDd}\cos\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) & M_{aDd}\cos\left(\omega t+\frac{2}{3}\right) \\ -M_{aDq}\sin\omega t & -M_{aDq}\sin\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) & -M_{aDq}\sin\left(\omega t+\frac{2}{3}\right) \end{array}\right)}\left(\begin{array}{c} i_a(t) \\ i_b(t) \\ i_c(t)\end{array}\right)\\\\
&\quad+\left(\begin{array}{ccc} L_{ffd} & M_{fDd} & 0 \\ M_{fDd} & L_{DDd} & 0 \\ 0 & 0 & L_{DDq} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} i_{fd}(t) \\ i_{Dd}(t) \\ i_{Dq}(t)\end{array}\right) ・・・(13)
\end{align*}$$

ただし、$\theta_a=\omega t,\ \theta_b=\theta_a-\displaystyle{\frac{2}{3}\pi},\ \theta_c=\theta_a+\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$を用いた。

$(12)$および$(13)$式が発電機における鎖交磁束の基本式である。