パークの方程式の導出

本記事では、発電機の電圧と電流の関係を表現するパーク(Park)の方程式を導出する。

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発電機の三相電気量における基本式

発電機の基本回路

図1に発電機の基本回路を示す。同図において、電機子$a-b-c$相巻線は$\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}$ずつずれて配置されている。

一方、界磁においては界磁巻線と制動巻線の回路を考慮する。

界磁巻線には励磁のために外部の電源電圧$E_{fd}$が接続されており、磁極の方向、すなわち$d$軸方向のみに磁束をつくる($q$軸方向には磁束は存在しないと考える)。

制動巻線は突極機の場合に回転子磁極表面に配置されるが、$d,\ q$軸方向それぞれに回路が配置され、磁束を発生させる回路であると考える。

以上のすべての巻線は、巻線抵抗およびインダクタンスから成る回路となる。
このような回路構成とすることで、$d-q-0$領域におけるパークの方程式を導出する。

図1 発電機の基本回路

電機子巻線の電圧関係式

図1の電機子巻線における電圧・磁束・電流の関係について、ファラデーの電磁誘導の法則および巻線抵抗による電圧降下を考慮すると、次式が成り立つ。

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} e_a(t) \\ e_b(t) \\ e_c(t)\end{array}\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_a}(t) \\ \mathit{\Psi_b}(t) \\ \mathit{\Psi_c}(t)\end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} i_a(t) \\ i_b(t) \\ i_c(t)\end{array}\right) ・・・(1)\end{align*}$$

ここで、
$e_a(t),\ e_b(t),\ e_c(t)$:各相の電機子電圧
$\mathit{\Psi_a}(t),\ \mathit{\Psi_b}(t),\ \mathit{\Psi_c}(t)$:各相電機子巻線の鎖交磁束数
$i_a(t),\ i_b(t),\ i_c(t)$:各相の電機子巻線電流
$r$:電機子巻線抵抗(三相とも等しいとする)

後の計算に備え、$(1)$式の各行列を記号で表すと、

$$\boldsymbol{e_{abc}}(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{\Psi_{abc}}(t)-r\boldsymbol{i_{abc}}(t) ・・・(1)’$$

界磁巻線・制動巻線の電圧関係式

同様に、図1の界磁巻線および制動巻線における電圧・磁束・電流の関係について、次式が成り立つ。

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} E_{fd} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_{fd}}(t) \\ \mathit{\Psi_{Dd}}(t) \\ \mathit{\Psi_{Dq}}(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} r_{fd}\cdot i_{fd}(t) \\ r_{Dd}\cdot i_{Dd}(t) \\ r_{Dq}\cdot i_{Dq}(t)\end{array}\right) ・・・(2)\end{align*}$$

ここで、
$E_{fd}$:界磁電圧
$\mathit{\Psi_{fd}}(t),\ \mathit{\Psi_{Dd}}(t),\ \mathit{\Psi_{Dq}}(t)$:界磁巻線(添字$f$)および制動巻線(添字$D$)の鎖交磁束数
$i_{fd}(t),\ i_{Dd}(t),\ i_{Dq}(t)$:界磁巻線および制動巻線電流
$r_{fd},\ r_{Dd},\ r_{Dq}$:界磁巻線および制動巻線抵抗

(なお、$(2)$式はすでに$d-q-0$領域における式であり、改めて変換する必要はない)

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電圧関係式のd-q-0変換

$(1)’$式の両辺に変換行列$\boldsymbol{D}(t)$を左から掛けて、その実数値をとる($d-q-0$変換で扱う電気量は瞬時値であるため)と、

$$\begin{align*}
\boldsymbol{e_{dq0}}(t)&=\mathrm{Re}\left\{\boldsymbol{D}(t)\boldsymbol{e_{abc}}(t)\right\}=\mathrm{Re}\left\{\boldsymbol{D}(t)\frac{d}{dt}\boldsymbol{\Psi_{abc}}(t)-\boldsymbol{D}(t)r\boldsymbol{i_{abc}}(t)\right\}\\\\
&=\mathrm{Re}\left[\boldsymbol{D}(t)\frac{d}{dt}\left\{\boldsymbol{D^{-1}}(t) \boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)\right\}-\boldsymbol{D}(t)r\left\{\boldsymbol{D^{-1}}(t) \boldsymbol{i_{dq0}}(t)\right\}\right]\\\\
&=\mathrm{Re}\left[\boldsymbol{D}(t)\left\{\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t) \right\}\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)+\boldsymbol{D}(t)\boldsymbol{D^{-1}}(t)\frac{d}{dt}\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)-r\boldsymbol{i_{dq0}}(t)\right]\\\\
&・・・(3)
\end{align*}$$

ここで、上記変換の2→3行目の計算においては、$\boldsymbol{D^{-1}}(t)$および$\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)$はともに時間$t$の関数であるため、積の微分公式を用いていることに注意する。

ここで、

$$\begin{align*}
\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t)&=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & -\sin\theta_a & 1 \\ \cos\theta_b & -\sin\theta_b & 1 \\ \cos\theta_c & -\sin\theta_c & 1 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}} & -\cos\theta_a\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}} & 0 \\ -\sin\theta_b\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}} & -\cos\theta_b\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}} & 0 \\ -\sin\theta_c\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}} & -\cos\theta_c\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}} & 0 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a & -\cos\theta_a & 0 \\ -\sin\theta_b & -\cos\theta_b & 0 \\ -\sin\theta_c & -\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&\left(\because\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}}=\omega\right)
\end{align*}$$

したがって、

$$\begin{align*}
&\boldsymbol{D}(t)\left\{\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t)\right\}\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\theta_b & \cos\theta_c \\ -\sin\theta_a & -\sin\theta_b & -\sin\theta_c \\ \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a & -\cos\theta_a & 0 \\ -\sin\theta_b & -\cos\theta_b & 0 \\ -\sin\theta_c & -\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 \\ \displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\\\&(\because\cos\theta_a+\cos\theta_b+\cos\theta_c=0,\ \sin\theta_a+\sin\theta_b+\sin\theta_c=0)
\end{align*}$$

これを$(3)$式に代入し、行列表記になおすと、

$$\begin{align*}
&\left(\begin{array}{c} e_d(t) \\ e_q(t) \\ e_0(t)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 \\ \displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_d}(t) \\ \mathit{\Psi_q}(t) \\ \mathit{\Psi_0}(t)\end{array}\right)+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_d}(t) \\ \mathit{\Psi_q}(t) \\ \mathit{\Psi_0}(t)\end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} i_d(t) \\ i_q(t) \\ i_0(t)\end{array}\right)\\\\
& ・・・(4)
\end{align*}$$

パークの方程式

$(4)$式において$\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}}=\omega$であることを考慮して、$(2)$式と合わせて記載すると、

$$\qquad\quad\begin{cases}
e_d(t)=-\omega\mathit{\Psi_q}(t)-\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_d}(t)}{dt}}-ri_d(t)\\\\
e_q(t)=\omega\mathit{\Psi_d}(t)- \displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_q}(t)}{dt}}-ri_q(t)\\\\
e_0(t)=-\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_0}(t)}{dt}}-ri_0(t)
\end{cases} ・・・(5)$$

$$\begin{cases}
E_{fd}=-\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{fd}}(t)}{dt}}+r_{fd}i_{fd}(t)\\\\
0=-\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{Dd}}(t)}{dt}}+r_{Dd}i_{Dd}(t)\\\\
0=-\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{Dq}}(t)}{dt}}+r_{Dq}i_{Dq}(t)
\end{cases} ・・・(2)$$

このうち、電機子巻線電圧に関する$(5)$式はパーク(Park)の方程式と呼ばれ、発電機の電気的特性を示す重要な式の1つである。

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