対称座標法における零相成分の正体

下図のように、不平衡かつベクトル和がゼロでない(閉じていない) 三相電気量(図1の場合は電圧) がある。対称座標法を用いれば、このような任意の三相電気量($a-b-c$ 領域)は、零相・正相・逆相成分($0-1-2$ 領域)に分解できる。

なぜこのような成分分解が成り立つのか、感覚的にはよく分からないので、証明という形で考察した。

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三相ベクトルを三角形配置してみる

図1

図1  不平衡かつベクトル和がゼロでない三相電気量

まず、この三相電気量ベクトル$\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}$を、図2のように三角形を成すように移動させる(当然、このような移動をしても3つのベクトルの和は変わらない)。

図2  不平衡かつベクトル和がゼロでない三相電気量(三角形配置)

3つのベクトル和はゼロではないため、当然図2のように三角形から足が出る形になる。
この出ている足を三角形から分離させると、図2は図3のように分解できる。
図3の場合、$\dot{V_a}$と$\dot{V_b}$の一部を取り出す形になる。

図3 分解後の三相ベクトル

図3から分かることは、
不平衡かつベクトル和がゼロでない三相ベクトル
不平衡かつベクトル和がゼロである三相ベクトル
余ったベクトル(ベクトル和をゼロでなくす成分)
ということである。

「余ったベクトル」の正体

この「余ったベクトル」を合成して一つのベクトルとする。
(最初の三角形の囲み方によっては「余り」の出方は違うが、合成すると結局同じベクトルができるはずである)
この合成ベクトルを$3\dot{V_0}$と定義する。

この$3\dot{V_0}$だが、当然ながら、最初に切り離した「不平衡かつベクトル和がゼロである三相ベクトル」に足し合わせると、「不平衡かつベクトル和がゼロでない三相ベクトル」となるはずである。

さらに言うと、この$3\dot{V_0}$を$\frac{1}{3}$ずつに分解し(図4)、この3つのベクトルをそれぞれ 「不平衡かつベクトル和がゼロである三相ベクトル」の各相に足し合わせても、ベクトルを合成すれば同じ結果になるはずである。この結果を図5に示す。

なお、図5の$\dot{V’_a}$, $\dot{V’_b}$, $\dot{V’_c}$は、「不平衡かつベクトル和がゼロである」という条件を満たしつつ、$\dot{V_0}$を合成すれば元のベクトル$\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}$になるようなベクトルである。

図4 零相ベクトル

図5  「不平衡かつベクトル和がゼロでない三相ベクトル」と「零相ベクトル」の関係

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零相成分は「三角形の重心」

フォロワーの電気うさぎさんから、下記のような興味深いご意見をいただいた。

https://twitter.com/ElectricUsagi/status/1088605758869008385

$\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}$の重心を考えると、

$\displaystyle{\frac{1}{3}}(\dot{V_a}+\dot{V_b}+\dot{V_c})= \displaystyle{\frac{1}{3}}(\dot{V’_a}+\dot{V’_b}+\dot{V’_c})+ \displaystyle{\frac{1}{3}} \cdot 3\dot{V_0}= \dot{V_0}$

となり、まさに零相成分は三角形の重心を表しているといえる。

まとめ ~零相成分の分離~

まとめると、次の関係が成り立つはずである。

不平衡かつベクトル和がゼロでない三相ベクトル($\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}$)
不平衡かつベクトル和がゼロである三相ベクトル($\dot{V’_a}$, $\dot{V’_b}$, $\dot{V’_c}$)
同一の大きさおよび向きの零相ベクトル($\dot{V_0}×3$)

以上の考察より、対象の三相ベクトルから零相成分だけを取り出すことができた。

なお、上記の考察は電圧について行ったが、電流についても同様のことが言える。

正相成分と逆相成分についての考察はこちら↓

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対称座標法変換の基本式はこちら↓

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