対称座標法における零相成分

本記事では、対称座標法における零相成分について考察する。

不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベクトル

図1のように、不平衡かつ和がゼロにならない(閉じていない)三相電気量ベクトルを考える。

同図では、三相電圧$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$について考えている。

 

図1 不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベクトル

 

このような任意の三相電気量の各相成分($a-b-c$領域における電気量)は、対称座標法を用いると、零相・正相・逆相成分($0-1-2$領域における電気量)に分解できる。

なぜこのような異なる成分への分解が成り立つのか、感覚的にはよく分からないため、三相電気量と零相成分の関係性を考察する。

 

ベクトルの三角形配置

まず、図1の三相電圧ベクトル$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$を、図2のようにそれぞれの辺で三角形を形成する配置に移動させる。

 

図2 不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベクトル(三角形配置)

 

当然、このような移動をしても3本のベクトルの和は変わらず、かつ和はゼロではないため、図2のように三角形から足が出る形になる。

 

この出ている足を三角形から分離させると、図2のベクトルは図3のように分解できる。

同図の場合、$\dot{V}_a$と$\dot{V}_b$の一部を取り出す形になり、これらは「足が出た分のベクトル」ということになる。

 

図3 分解後の三相電気量ベクトル

 

図3より、三角形を成すベクトル(同図上)は和がゼロになるため、結局、

不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベクトル不平衡かつ和がゼロである三相電気量ベクトル足が出た分のベクトル(和をゼロでなくす成分)

であることがわかる。

 

この「足が出た分のベクトル」は、合成して一つのベクトル(図3の下)とすることができ、この合成ベクトルを$3\dot{V}_0$と定義する。

(最初の三角形の囲み方によっては「足」の出方は違うが、このように合成すると結局同じベクトルができるはずである)

 

「足が出た分のベクトル」=零相成分

図3の$3\dot{V_0}$は、切り離した「不平衡かつ和がゼロである三相電気量ベクトル(三角形を成すベクトル、図3の上)」に足し合わせると、「不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベクトル(図1)」となるはずである。

 

ここで、$3\dot{V}_0$を3等分し、3本の$\dot{V}_0$ベクトルとしたものを図4に示す。

この$\dot{V}_0$を、対称座標法における零相成分という。

 

図4 3等分された「足が出た分のベクトル」

 

図4の3本の零相成分$\dot{V}_0$をそれぞれ 「不平衡かつ和がゼロである三相電気量ベクトル」の各相に足し合わせても、ベクトルを合成した結果は図1と同じになるはずである。

各ベクトルを合成した結果と、それらの関係性を図5に示す。

 

図5 「不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベクトル」と零相成分の関係

 

なお、図5の$\dot{V’}_a,\ \dot{V’}_b,\ \dot{V’}_c$は、「不平衡かつ和がゼロである」という条件を満たしつつ、零相成分$\dot{V}_0$を合成すれば元の三相電気量ベクトル$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$になるようなベクトルである。

 

また、一連の考察は三相電気量として電圧を用いたが、電流についても同様のことが言える。

 

 

零相成分は「三角形の重心」

フォロワーの電気うさぎさんから、下記のような興味深いご意見をいただいた。

 

図1の$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$の重心を考えると、

$$\frac{1}{3}(\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c)=\frac{1}{3}(\dot{V’}_a+\dot{V’}_b+\dot{V’}_c)+\frac{1}{3}\cdot3\dot{V}_0= \dot{V}_0$$

となり、零相成分は三角形の重心を表しているといえる。

 

三相電気量における零相成分の関係性

まとめると、次の関係が成り立つはずである。

 

不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベクトル($\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$)不平衡かつ和がゼロである三相電気量ベクトル($\dot{V’}_a,\ \dot{V’}_b,\ \dot{V’}_c$)同一の大きさおよび向きの零相成分ベクトル($\dot{V}_0\times3$)

 

以上の考察より、任意の三相電気量ベクトルにおける零相成分の関係性を明らかにした。

 

なお、正相および逆相成分については、下記の記事を参照してほしい。

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