一機無限大母線系統の過渡安定性と等面積法

本記事では、一機無限大母線系統の過渡安定性と、それを判定するための等面積法について解説する。





一機無限大母線系統(2回線送電)

電力系統のモデルとして、図1のような発電機(今回は円筒形同期発電機を想定)と無限大母線、およびその間の図1では2回線送電線を含めたリアクタンスで構成された一機無限大母線系統を考える。

 

図1 一機無限大母線系統(2回線送電線)

 

図1において、$\dot{E}=E\angle\delta$は発電機背後電圧、$\dot{V}=V\angle0$は無限大母線の電圧、$X’_\mathrm{d}$は発電機の過渡リアクタンス、$X_\mathrm{t}$および$X_\mathrm{l}$はそれぞれ系統に接続されている変圧器および各送電線のリアクタンスとなる。

なお、系統の抵抗成分は無視するものとする。

 

図1では、2回線送電線のうち1回線の送電端近傍で事故が発生し、同回線の両端の遮断器を開放することで事故を除去する場合を想定している。

 

事故発生前後の電力-相差角曲線

図1の系統事故発生時における電力-相差角曲線($P-\delta$曲線)は、図2のようになる。

なお同図において、$0<r_1<r_2<1$として、各曲線の条件は次のようであるとする。

  • $P_0=P_\mathrm{max}\sin\delta$:事故発生前
  • $P_1=r_1P_\mathrm{max}\sin\delta$:事故発生直後
  • $P_2=r_2P_\mathrm{max}\sin\delta$:遮断器開放後

 

図2 系統事故発生前後の電力-相差角曲線

 

各状態における電力-相差角曲線が図2のようになるのは、図1の系統の発電機の電気的出力(=送電電力)

$$P_\mathrm{e}=\frac{EV}{X}\sin\delta$$

において、リアクタンス$X$が変動することによる。

 

事故発生前の系統全体のリアクタンス$X_0$は、

$$X_0=X’_\mathrm{d}+X_\mathrm{t}+\frac{X_\mathrm{l}}{2}$$

 

次に事故発生時、系統のリアクタンスの値は瞬間的に大きくなるので、その際はピーク値の小さい$P_0\rightarrow P_1$の曲線に移る。

このときのリアクタンスは事故の様態によって変化し、一線地絡、二相短絡、二線地絡、三相短絡の順で大きくなっていく。

特に三相短絡の際の影響はこの中で最も大きく、$r_1=0,\ P_1=0$とみなすことができる。

 

そして、遮断器開放後の系統全体のリアクタンス$X_2$は、

$$X_2=X’_\mathrm{d}+X_\mathrm{t}+X_\mathrm{l}>X_0$$

となるため、$P_0$よりもピーク値の小さい$P_2$の曲線に移る。

 

電力-相差角曲線上の運転点

次に、事故発生前後において、電力-相差角曲線上の運転点の遷移を、図3を用いて順を追って説明する。

 

図3 電力-相差角曲線上の運転点の遷移

 

事故直前に同期速度$\omega_\mathrm{s}$であった場合の発電機の動揺方程式は、

$$\frac{2H}{\omega_\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}^2\delta}{\mathrm{d}t^2}=P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}$$

 

上式において、$H$は慣性定数、$P_\mathrm{m}$は発電機への機械的入力、$P_\mathrm{e}$は発電機の電気的出力である。

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図1の系統で事故発生前(時間$t<0$)、動揺方程式の右辺はつり合っている$\left(P_\mathrm{m}=P_\mathrm{e}\right)$ので、運転点は図3のように機械的入力$P_\mathrm{m}$と電力-相差角曲線$P_0$の交点である点⓪にあるものとする。

また、このときの相差角を$\delta_0$とする。

 

次に、事故発生時の運転点の推移は、次のようになる。

⓪→①:系統事故発生直後($t=0$)で、電力-相差角曲線は$P_0\rightarrow P_1$に移る。

①→②:動揺方程式で$P_\mathrm{m}>P_\mathrm{e}=P_1$となることより、発電機の回転子に加速エネルギーがはたらく。このとき、相差角は増大$\displaystyle{\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}>0\right)}$する。

②→③:遮断器を開放し、そのときの相差角$\delta_\mathrm{c}$において電力-相差角曲線は$P_1\rightarrow P_2$に移る。

③→④:動揺方程式で$P_\mathrm{m}<P_\mathrm{e}=P_2$となることより、発電機の回転子に減速エネルギーがはたらく。しかし発電機の慣性で$\delta=\delta_\mathrm{m}$となる点④までは加速を続ける。

④→⑤:点④でいったん加速力は0$\displaystyle{\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}=0\right)}$となり、減速エネルギーにより点⑤まで向かう。このとき、相差角は減少$\displaystyle{\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}<0\right)}$する。

 

なお、系統の抵抗成分の減衰を考慮しない場合は、点④↔⑤間で振動を続けることになる。

 

なお、図3でもし$\delta=\delta_\mathrm{max}$の点を超えてしまうと、動揺方程式において$P_\mathrm{m}>P_\mathrm{e}$となり、再び発電機の回転子に加速エネルギーがはたらいてしまうため、$\delta$は増大し続けて、いずれ脱調に至る不安定な状態となる。

この境界となる$\delta_\mathrm{c}$を臨界故障除去位相という。

 

三相短絡事故の場合の$\delta_\mathrm{c}$は後述する。

 

 

等面積法

発電機の動揺方程式

$$\frac{2H}{\omega_\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}^2\delta}{\mathrm{d}t^2}=P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}$$

 

の両辺に$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}}$をかけて、

$$\frac{2H}{\omega_\mathrm{s}}\cdot\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\cdot\omega\frac{\mathrm{d}^2\delta}{\mathrm{d}t^2}=\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t} ・・・(1)$$

 

ここで、$(1)$式の左辺を変形すると、

$$\begin{align*}
\frac{H}{\omega_\mathrm{s}}\cdot2\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}^2\delta}{\mathrm{d}t^2}&=\frac{H}{\omega_\mathrm{s}}\cdot2\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)\\\\
&=\frac{H}{\omega_\mathrm{s}}\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)^2 ・・・(2)
\end{align*}$$

 

上の計算過程は、合成関数の導関数の公式を用いている。

$$\left\{g\left(f\left(x\right)\right)\right\}’=g’\left(f\left(x\right)\right)\cdot f’\left(x\right)$$

 

$(2)$式を$(1)$式に代入して、

$$\frac{H}{\omega_\mathrm{s}}\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)^2=\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t} ・・・(3)$$

 

ここで、相差角が$\delta=\delta_\mathrm{m}$になる時間を$t_\mathrm{m}$とすると、$(3)$式の両辺を$t=0\sim t_\mathrm{m}$で積分して、

$$\frac{H}{\omega_\mathrm{s}}\int^{t_\mathrm{m}}_0\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)^2\mathrm{d}t=\int^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_0}\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\mathrm{d}\delta ・・・(4)$$

 

$(4)$式の左辺について計算すると、

$$\begin{align*}
\frac{H}{\omega_\mathrm{s}}\int^{t_\mathrm{m}}_0\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)^2\mathrm{d}t&=\frac{H}{\omega_\mathrm{s}}\left\{\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)^2_{t=t_\mathrm{m}}-\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)^2_{t=0}\right\}
\end{align*}$$

 

ここで、図3の加速が始まる前の点⓪$\left(t=0,\ \delta=\delta_0\right)$においては$\displaystyle{\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)_{t=0}}=0$であり、かつ加速から減速に転じる点④$\left(t=t_\mathrm{m},\ \delta=\delta_\mathrm{m}\right)$については両エネルギーがつり合っている状態であり、$\ \displaystyle{\left(\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right)_{t=t_\mathrm{m}}}=0$であるから、($(4)$式の左辺)$=0$となる。

 

したがって、$(4)$式は、

$$\begin{align*}
\int^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_0}\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\mathrm{d}\delta=0 ・・・(5)
\end{align*}$$

 

ここで、$(5)$式を$\delta=\delta_\mathrm{c}$を境に、区間ごとに分解すると、

$$\begin{align*}
\int^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_0}\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\mathrm{d}\delta&=\int^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_\mathrm{c}}\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\mathrm{d}\delta+\int^{\delta_\mathrm{c}}_{\delta_0}\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\mathrm{d}\delta=0\\\\
\therefore\int^{\delta_\mathrm{c}}_{\delta_0}\left(P_\mathrm{m}-P_\mathrm{e}\right)\mathrm{d}\delta&=\int^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_\mathrm{c}}\left(P_\mathrm{e}-P_\mathrm{m}\right)\mathrm{d}\delta ・・・(6)
\end{align*}$$

 

$(6)$式の左辺を計算すると図4の面積$S_1$,同様に右辺は同図の面積$S_2$となる。

すなわち、$(6)$式は面積$S_1$と$S_2$が等しいことを意味し、このような状態になる相差角$\delta_\mathrm{m}$を最大振幅角という。

 

図4 等面積法

 

図4のような電力-相差角曲線で囲まれる面積を比較することにより、系統の安定度を判定することを等面積法という。

同図において、面積$S_1$は加速エネルギー、$S_2$は減速エネルギーを表しており、両者が等しくなる状態$\left(\delta=\delta_\mathrm{m}\right)$が安定限界となる。

 

臨界故障除去位相の算出

前項の場合において、$(6)$式が成り立ち、面積$S_1$と$S_2$が等しくなる臨界故障除去位相$\delta_\mathrm{c}$を求めてみる。

 

まず、$(6)$式の左辺において、$P_\mathrm{e}=P_1$として計算すると、

$$\begin{align*}
\int^{\delta_\mathrm{c}}_{\delta_\mathrm{0}}\left(P_\mathrm{m}-P_1\right)\mathrm{d}\delta&=\int^{\delta_\mathrm{c}}_{\delta_0}\left(P_\mathrm{m}-r_1P_\mathrm{max}\sin\delta\right)\mathrm{d}\delta\\\\
&=P_\mathrm{m}\left[\delta\right]^{\delta_\mathrm{c}}_{\delta_0}-r_1P_\mathrm{max}\left[-\cos\delta\right]^{\delta_\mathrm{c}}_{\delta_0}\\\\
&=P_\mathrm{m}\left(\delta_\mathrm{c}-\delta_0\right)+r_1P_\mathrm{max}\left(\cos\delta_\mathrm{c}-\cos\delta_0\right)
\end{align*}$$

 

一方、$(6)$式の右辺において、$P_\mathrm{e}=P_2$として計算すると、

$$\begin{align*}
\int^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_\mathrm{c}}\left(P_2-P_\mathrm{m}\right)\mathrm{d}\delta&=\int^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_\mathrm{c}}\left(r_2P_\mathrm{max}\sin\delta-P_\mathrm{m}\right)\mathrm{d}\delta\\\\
&=r_2P_\mathrm{max}\left[-\cos\delta\right]^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_\mathrm{c}}-P_\mathrm{m}\left[\delta\right]^{\delta_\mathrm{m}}_{\delta_\mathrm{c}}\\\\
&=r_2P_\mathrm{max}\left(\cos\delta_\mathrm{c}-\cos\delta_\mathrm{m}\right)-P_\mathrm{m}\left(\delta_\mathrm{m}-\delta_\mathrm{c}\right)
\end{align*}$$

 

上記を等号で結び、遮断器開放時の相差角$\delta_\mathrm{c}$を求めると、

$$\begin{align*}
P_\mathrm{m}\left(\delta_\mathrm{c}-\delta_0\right)+r_1P_\mathrm{max}\left(\cos\delta_\mathrm{c}-\cos\delta_0\right)&=r_2P_\mathrm{max}\left(\cos\delta_\mathrm{c}-\cos\delta_\mathrm{m}\right)-P_\mathrm{m}\left(\delta_\mathrm{m}-\delta_\mathrm{c}\right)\\\\
P_\mathrm{max}\left(r_2-r_1\right)\cos\delta_\mathrm{c}&=P_\mathrm{max}\left(r_2\cos\delta_\mathrm{m}-r_1\cos\delta_0\right)+P_\mathrm{m}\left(\delta_\mathrm{m}-\delta_0\right)\\\\
\therefore\delta_\mathrm{c}&=\cos^{-1}\frac{P_\mathrm{max}\left(r_2\cos\delta_\mathrm{m}-r_1\cos\delta_0\right)+P_\mathrm{m}\left(\delta_\mathrm{m}-\delta_0\right)}{P_\mathrm{max}\left(r_2-r_1\right)}\\\\
&=\cos^{-1}\frac{r_2\cos\delta_\mathrm{m}-r_1\cos\delta_0+\displaystyle{\frac{P_\mathrm{m}}{P_\mathrm{max}}}\left(\delta_\mathrm{m}-\delta_0\right)}{r_2-r_1}
\end{align*}$$

 

ここで、図3の運転点②において、次のような関係がある。

$$\begin{align*}
P_\mathrm{m}&=P_\mathrm{max}\sin\delta_0\\\\
\therefore\frac{P_\mathrm{m}}{P_\mathrm{max}}&=\sin\delta_0
\end{align*}$$

 

以上より、$\delta_\mathrm{c}$は、

$$\delta_\mathrm{c}=\cos^{-1}\frac{r_2\cos\delta_\mathrm{m}-r_1\cos\delta_0+\left(\delta_\mathrm{m}-\delta_0\right)\sin\delta_0}{r_2-r_1}$$

 

三相短絡の場合

前述のように、図1の系統に発生した事故が三相短絡事故である場合、$r_1=0,\ P_1=0$となる。

 

この場合の発電機の動揺方程式は、

$$\begin{align*}
\frac{2H}{\omega_\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}^2\delta}{\mathrm{d}t^2}&=P_\mathrm{m}\\\\
\therefore\frac{\mathrm{d}^2\delta}{\mathrm{d}t^2}&=\frac{\omega_\mathrm{s}P_\mathrm{m}}{2H} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

$(7)$式の両辺を時間$t$で積分して、$\delta$の時間当たりの増加量を求めると、

$$\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}=\frac{\omega_\mathrm{s}P_\mathrm{m}}{2H}t ・・・(8)$$

 

さらに$(8)$式の両辺を時間$t$で積分して、$t=0$において$\delta=\delta_0$であることも利用すると、

$$\delta=\frac{\omega_\mathrm{s}P_\mathrm{m}}{4H}t^2+\delta_0$$

 

ここで、$\delta=\delta_\mathrm{c}$となる時間を$t=t_\mathrm{c}$(臨界故障除去時間)とすると、

$$\begin{align*}
\delta_\mathrm{c}&=\frac{\omega_\mathrm{s}P_\mathrm{m}}{4H}t^2_\mathrm{c}+\delta_0\\\\
\therefore t_\mathrm{c}&=\sqrt{\frac{4H\left(\delta_\mathrm{c}-\delta_0\right)}{\omega_\mathrm{s}P_\mathrm{m}}}
\end{align*}$$

 

また、このときの$\delta_\mathrm{c}$は、

$$\delta_\mathrm{c}=\cos^{-1}\left\{\cos\delta_\mathrm{m}+\frac{\left(\delta_\mathrm{m}-\delta_0\right)\sin\delta_0}{r_2}\right\}$$

 

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参考文献