対称座標法における発電機の基本式

対称座標法の計算を用いるにあたり、重要な式である「発電機の基本式」を導入する。

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発電機の内部等価回路

図1は発電機を三相平衡した理想電圧源で表した内部等価回路である。

図1 発電機の内部等価回路

ここで、

・$\dot{E_a}$, $\dot{E_b}$, $\dot{E_c}$:発電機の内部誘導起電力、$\dot{E_b}=a^2\dot{E_a}$, $\dot{E_c}=a\dot{E_a}$
・$\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}\ $ :発電機電圧(発電機以降の外部回路に印加される電圧)
・$\dot{V_n}$    :中性点発生電圧
・$\dot{I_a}$, $\dot{I_b}$, $\dot{I_c}\quad$ :発電機端子間に流れる電流
・$\dot{Z_n}$    :中性点接地インピーダンス

図1の回路では省略しているが、発電機内には「内部誘導起電力端子」と「外部端子」との間に各相のインピーダンスが存在する。これを回路内に表示したのが図2である。

図2 発電機の内部等価回路(インピーダンス表示)

ここで、

・$\dot{Z_s}$:各相の自己インピーダンス
・$\dot{Z_m}$:各相間の相互インピーダンス

図2ではインピーダンスも三相平衡しているとみなし、$a-b-c$相で$\dot{Z_s}$および$\dot{Z_m}$はすべて等しいとする。

電圧・電流の式の対称座標法変換

図1および図2の回路において、電圧・電流の関係式を記載すると下記となる。

$$\dot{E_a}-\dot{V_a}= \dot{Z_s}\dot{I_a}+\dot{Z_m}\dot{I_b} +\dot{Z_m}\dot{I_c}- \dot{V_n}\\
\dot{E_b}-\dot{V_b}= \dot{Z_m}\dot{I_a}+\dot{Z_s}\dot{I_b} +\dot{Z_m}\dot{I_c}- \dot{V_n}\\
\dot{E_c}-\dot{V_c}= \dot{Z_m}\dot{I_a}+\dot{Z_m}\dot{I_b} +\dot{Z_s}\dot{I_c}- \dot{V_n} $$

行列表示にすると、

$$ \left( \begin{array}{c} \dot{E_a} \\ \dot{E_b} \\ \dot{E_c}\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} \dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} \dot{V_n} \\ \dot{V_n} \\ \dot{V_n}\end{array} \right) ・・・(1)$$

$(1)$式を対称座標法変換($a-b-c$→$0-1-2$変換)する場合は、「変換の基本式」で定義した変換行列$\displaystyle{\boldsymbol{a}= \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right)}$を$(1)$式の左から掛けて、

$$ \boldsymbol{a} \left( \begin{array}{c} \dot{E_a} \\ \dot{E_b} \\ \dot{E_c}\end{array} \right)- \boldsymbol{a} \left( \begin{array}{c} \dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array} \right)= \boldsymbol{a} \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right)- \boldsymbol{a} \left( \begin{array}{c} \dot{V_n} \\ \dot{V_n} \\ \dot{V_n}\end{array} \right) ・・・(1)’$$


詳細はこちら↓

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$(1)’$式について1項ずつ確認していく。

変換式の計算

左辺第1項

$\dot{E_b}=a^2\dot{E_a}$, $\dot{E_c}=a\dot{E_a}$ であることに注意して、

$$ \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{E_a} \\ \dot{E_b} \\ \dot{E_c}\end{array} \right)= \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{E_a} \\ a^2\dot{E_a} \\ a\dot{E_a}\end{array} \right)\\
\qquad= \left( \begin{array}{c} 0 \\ \dot{E_a} \\ 0\end{array} \right) $$

左辺第2項

$$ \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} \dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array} \right)$$

右辺第1項

電流 $\left( \begin{array}{c} \dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right) $について、逆変換行列 $\displaystyle{\boldsymbol{a^{-1}}=\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right)}$を用いて書き直すと、$\left( \begin{array}{c} \dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right) = \boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right)$となることより、右辺第1項は、

$ \displaystyle{ \quad\frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right)\\
= \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} \\ \dot{Z_s}-\dot{Z_m}& a(\dot{Z_s}-\dot{Z_m}) & a^2(\dot{Z_s}-\dot{Z_m}) \\ \dot{Z_s}-\dot{Z_m}& a^2(\dot{Z_s}-\dot{Z_m}) & a(\dot{Z_s}-\dot{Z_m}) \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right) \\
= \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_s}- \dot{Z_m} & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z_s}- \dot{Z_m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right)} $

右辺第2項

大地を通って中性点に流入する電流は、図1より$\dot{I_a}+ \dot{I_b}+ \dot{I_c}$となるので、これと$\dot{I_0}$の定義式(「変換の基本式」の$(1d)$式)から、$\dot{V_n}$の符号($\dot{E_a}$と向きが等しい)に注意して、

$$\qquad\quad\dot{V_n}=-\dot{Z_n}(\dot{I_a}+ \dot{I_b}+ \dot{I_c} )\\
=-3\dot{Z_n}\dot{I_0}$$

以上を考慮して、$(1)’$式の右辺第2項は、

$$ \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{V_n} \\ \dot{V_n} \\ \dot{V_n} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} \dot{V_n} \\ 0 \\ 0\end{array} \right) \\
\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad= \left( \begin{array}{c} -3\dot{Z_n}\dot{I_0} \\ 0 \\ 0\end{array} \right)$$

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発電機の基本式

零相・正相・逆相インピーダンス

以上の検討より、(1)’式を書き換えると、

$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ \dot{E_a} \\ 0\end{array} \right) – \left( \begin{array}{c} \dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_s}- \dot{Z_m} & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z_s}- \dot{Z_m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 3\dot{Z_n}\dot{I_0} \\ 0 \\ 0\end{array} \right) $$

ここで、$ \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_s}- \dot{Z_m} & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z_s}- \dot{Z_m} \end{array} \right)≡ \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_0} & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_1} & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z_2} \end{array} \right) $と置き換えて再掲すると、

$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ \dot{E_a} \\ 0\end{array} \right) – \left( \begin{array}{c} \dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_0} & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_1} & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z_2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 3\dot{Z_n}\dot{I_0} \\ 0 \\ 0\end{array} \right) ・・・(2) $$

$(2)$式における$\dot{Z_0}$, $\dot{Z_1}$, $\dot{Z_2}$はそれぞれ発電機の零相・正相・逆相インピーダンスの定義である。

※この式では、明らかに$\dot{Z_0}> \dot{Z_1} = \dot{Z_2}$である。厳密には、発電機の正相インピーダンス$ \dot{Z_1} $は時間とともに変化するので、特に過渡安定度の解析など数サイクル内の応答を考える場合は$ \dot{Z_1}≠ \dot{Z_2} $としなければならないが、系統の商用周波数における故障計算などは、本記事で計算した式としてよい場合が多い。

発電機の基本式の導出

さて、$(2)$式において零相・正相・逆相成分それぞれ記載すると、

$$\begin{align}
-\dot{V_0}= (\dot{Z_0}+3 \dot{Z_n}) \dot{I_0} ・・・(2a)\\
\dot{E_a}-\dot{V_1}=  \ \ \   \dot{Z_1}\dot{I_1} ・・・(2b)\\
-\dot{V_2}=  \ \  \ \dot{Z_2}\dot{I_2} ・・・(2c)
\end{align}$$

これが対称座標法で表記した発電機の基本式である。

対称分回路

$(2a)$~$(2c)$式を各成分ごとの回路で示すと、図3のようになる。

図3 対称分回路(零相・正相・逆相)

図3より、発電機の内部誘導起電力$\dot{E_a}$は正相回路にしか存在しない(内部誘導起電力だけ考えるならば発電機は純粋な正相電圧源であるといえる)。また、中性点インピーダンス$3\dot{Z_n}$は零相回路に接続されるのみである(中性点に発生する電圧は純粋な零相電圧であり、中性点に流れる電流は純粋な零相電流である)。

対称座標法による変換法の利点

$(1)$式から順を追って$(2)$式を導出したが、そもそも元の$a-b-c$領域における電圧・電流の式を構成する場合は、図2のように自己および相互インピーダンスで構成された複雑な回路になる(当然、計算も複雑化する)。

一方、対称座標法により$0-1-2$成分に変換された図3は、各成分の回路が独立している。すなわち、相互インピーダンスが存在せず、自身の回路内のインピーダンスしか考慮しなくてよい($(2)$式のインピーダンス行列が対角行列となっていることからも分かる)。

各成分の電圧・電流を個別に計算し、最後に逆変換を行うことにより、より簡素な回路・計算で元の$a-b-c$領域における電圧・電流を求めることができる。

これが対称座標法による変換法を使用する最大の利点である。


送電線の対称座標法変換はこちら↓

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