電線のたるみ(弛度)・実長の式

本記事では、電線のたるみ(弛度)および実長の式を導出する。

架空送配電線のたるみ(弛度)・実長の式

図1のように、電柱などの支持物に取り付けられた架空送配電線(以下、電線)のたるみ(弛度)$D$は、$(1)$式で与えられる。

$$D=\frac{WS^2}{8T} ・・・(1)$$

 

また、電線の実長$L$は$(2)$式で与えられる。

$$L=S+\frac{8D^2}{3S} ・・・(2)$$

 

$(1),\ (2)$式において、

  • $S$:支持物間の距離(径間)
  • $W$:単位長さあたりの電線の荷重
  • $T$:電線に加わる水平張力

 

図1 架空送配電線の弛度と実長

 

次項以降にて、$(1)$および$(2)$式を導出する。

 

電線の双曲線関数表示

電線の一部の切り出し

図2は図1の電線の一部($x$軸上の$0\leq x\leq x_0$の区間)を切り出したものである。

 

図2 架空送配電線の一部($0\leq x \leq x_0$)

 

図2において、

  • $l$:切り出した電線の長さ
  • $T’$:電線の右端($x=x_0$の箇所)に加わる$\theta$方向の張力

 

図2より、電線に加わる力のつり合いの式を立てると、

$$\begin{align*}
Wl&=T^{\prime}\sin\theta\\\\
T&=T^{\prime} \cos\theta\\\\
\therefore\tan\theta&=\frac{W}{T}l ・・・(3)
\end{align*}$$

 

ここで、図2および$(3)$式より、

$$\frac{dy}{dx}=\tan\theta=\frac{l}{a} \left(a\equiv\frac{T}{W}\right) ・・・(4)$$

 

また、図2の電線において、微小長さ$dl$と各軸方向の長さ$dx,dy$の関係を図3に示す。

 

図3 電線の微小長さ$dl$

 

図3より、微小長さ$dl$を$dx$および$dy$で表すと、

$$dl^2=dx^2+dy^2 ・・・(5)$$

 

切り出した電線の長さの式

$(4)$および$(5)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{dl}{dx}&=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\\\\
&=\sqrt{1+\left(\frac{l}{a}\right)^2}\\\\
&=\frac{\sqrt{l^2+a^2}}{a}\\\\
\therefore\int{\frac{dl}{\sqrt{l^2+a^2}}}&=\int{\left(l^2+a^2\right)^{-\frac{1}{2}}dl}\\\\
&=\int{\frac{dx}{a}}  ・・・(6)
\end{align*}$$

 

ここで、$(4)$式より$l=a\tan\theta$であるから、$\displaystyle{dl=a\frac{d\theta}{\cos^2\theta}}$であり、

$$\begin{align*}
\int{\left(l^2+a^2\right)^{- \frac{1}{2}}dl}&=\int{\frac{1}{a}\left(\tan^2\theta+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot a\frac{d\theta}{\cos^2\theta}}\\\\
&=\int{\cos\theta\times \frac{d\theta}{\cos^2\theta}}\\\\
&=\int{\frac{d\theta}{\cos\theta}}\\\\
&=\int{\frac{\cos\theta}{\cos^2\theta}d\theta}\\\\
&=\int{\frac{\cos\theta}{1-\sin^2\theta}d\theta} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

ここで、$\sin\theta=t$とおくと、$\cos\theta d\theta=dt$であり、$(7)$式は、

$$\begin{align*}
\int{\frac{\cos\theta}{1-\sin^2\theta}d\theta}&=\int{\frac{dt}{1-t^2}dt}\\\\
&=\frac{1}{2}\int{\left(\frac{1}{1-t}+ \frac{1}{1+t}\right)dt}\\\\
&=\frac{1}{2}\left(-\ln|1-t|+\ln|1+t|\right)+C_1\\\\
&=\frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}+C_1\\\\
&=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}+C_1\\\\
&=\frac{1}{2}\ln\frac{\left(1+\sin\theta\right)^2}{1-\sin^2\theta}+C_1\\\\
&=\ln\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}+C_1\\\\
&=\ln\left(\frac{1}{\cos\theta}+\tan\theta\right)+C_1 ・・・(8)
\end{align*}$$

ただし、$C_1$は積分定数である。

 

さらに$(6)$式の右辺を積分すると、$\displaystyle{\frac{x}{a}+C_2}$(ただし、$C_2$は積分定数)となることから、これと$(8)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{x}{a}+C_2&=\ln\left(\frac{1}{\cos\theta}+\tan\theta\right)+C_1\\\\
\therefore C_3e^\frac{x}{a}&=\frac{1}{\cos\theta}+\tan\theta\\\\
&=\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} ・・・(9)
\end{align*}$$

ただし、$\displaystyle{C_3\equiv e^\left(C_1-C_2\right)}$

 

ここで後に示す図4より、$(x,y)=(0,a)$のとき$\theta=0$となることから、$(9)$式から$C_3$を求めると、

$$C_3=1+0=1$$

 

したがって、$(9)$は、

$$e^\frac{x}{a}=\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} ・・・(9)’$$

 

$(9)’$式より、$e^{-\frac{x}{a}}$を求めると、

$$\begin{align*}
e^{-\frac{x}{a}}&=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\\\\
&=\frac{\cos\theta\left(1-\sin\theta\right)}{\cos^2\theta}\\\\
&=\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\\\\
&=\frac{1}{\cos\theta}-\tan\theta ・・・(10)
\end{align*}$$

 

$(9)’$および$(10)$式より、

$$\begin{align*}
e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}&=2\tan\theta\\\\
\therefore\tan\theta&=\frac{e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}}{2} ・・・(11)
\end{align*}$$

 

$(4)$式より、$\displaystyle{\tan\theta=\frac{l}{a}}$であるから、これと$(11)$式より、

$$\begin{align*}
l&=a\frac{e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}}{2}\\\\
&=a\sinh\left(\frac{x}{a}\right) ・・・(12)
\end{align*}$$

 

切り出した電線の長さ$l$は、$(12)$式にて水平方向の位置$x$の関数で表すことができる。

 

電線の高さ方向の位置の式

同様の手順で、$\displaystyle{\frac{dl}{dy}}$を求めると、

$$\begin{align*}
\frac{dl}{dy}&=\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\\\\
&=\sqrt{1+\left(\frac{a}{l}\right)^2}\\\\
&=\frac{\sqrt{l^2+a^2}}{l}\\\\
\therefore\int{\frac{l}{\sqrt{l^2+a^2}}dl}&=\int{dy} ・・・(13)
\end{align*}$$

 

ここで、$(4)$式より$l=a\tan\theta$であるから、$\displaystyle{dl=a\frac{d\theta}{\cos^2\theta}}$であり、

$$\begin{align*}
\int{\frac{l}{\sqrt{l^2+a^2}}ds}&=\int{\frac{a\tan\theta}{a\sqrt{\tan^2\theta+1}}\cdot a\frac{d\theta}{\cos^2\theta} }\\\\
&=\int{a\tan\theta\cdot\cos\theta\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta}\\\\
&=\int{a\frac{\sin\theta }{\cos^2\theta}d\theta} ・・・(14)
\end{align*}$$

 

ここで、$\cos\theta=t$として、$-\sin\theta=dt$であり、$(14)$式は、

$$\begin{align*}\int{a\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}d\theta}&=-a\int{\frac{dt}{t^2}}\\\\
&=\frac{a}{t}+C_4\\\\
&=\frac{a}{\cos\theta}+C_4\\\\
&=a\sqrt{\tan^2\theta+1}+C_4\\\\
&=\sqrt{l^2+a^2}+C_4
\end{align*}$$

ただし、$C_4$は積分定数である。

 

さらに$(13)$式の右辺を積分すると、$y+C_5$($C_5$は積分定数)となることより、

$$y=\sqrt{l^2+a^2}+C_6 ・・・(15)$$

ただし、$C_6\equiv C_4-C_5$

 

前項と同様に、$(x,y)=(0,a)$のとき$\theta=0\rightarrow l=0$となることから、

$$\begin{align*}
a&=\sqrt{0^2+a^2}+C_6\\\\
&=a+C_6\\\\
\therefore C_6&=0
\end{align*}$$

 

$(15)$式の$l$に$(12)$式および$C_6=0$を代入すると、

$$\begin{align*}
y&=a\sqrt{\frac{e^{\frac{2x}{a}}+e^{-\frac{2x}{a}}-2}{4}+1}\\\\
&=a\sqrt{\frac{e^{\frac{2x}{a}}+e^{-\frac{2x}{a}}+2}{4}}\\\\
&=a\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}\\\\
&=a\cosh\left(\frac{x}{a}\right) ・・・(16)
\end{align*}$$

 

電線の高さ方向の位置$y$は、$(16)$式にて水平方向の位置$x$の関数で表すことができる。

 

懸垂線(カテナリー曲線)

$(16)$式からも分かるように、電線の高さ方向の位置$y$は$x$の双曲線関数で表される。

 

密度が一様なひもを吊り下げたときにできる曲線を懸垂線(カテナリー曲線)という。

支持物に吊り下げられた電線は、まさにこの懸垂線モデルで表すことができる。

 

この懸垂線は、数学的には双曲線関数で表されることが知られており、$(16)$式の結果がそれを示している。

 

 

電線のたるみ(弛度)および実長の式

たるみ(弛度)の式の導出

ここで、$e^{\frac{x}{a}}$および$e^{-\frac{x}{a}}$について、マクローリン展開を用いて表すと、

$$\begin{align*}
e^\frac{x}{a}&\simeq 1+\frac{x}{a}+\frac{x^2}{2a^2}+\frac{x^3}{6a^3} ・・・(17)\\\\
e^{-\frac{x}{a}}&\simeq 1-\frac{x}{a}+\frac{x^2}{2a^2}-\frac{x^3}{6a^3} ・・・(18)
\end{align*}$$

 

$(17)$および$(18)$式を$(16)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
a\cosh\left(\frac{x}{a}\right)&=a\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}\\\\
&\simeq\frac{a}{2}\left(2+2\frac{x^2}{2a^2}\right)\\\\
&=a+\frac{x^2}{2a^2}\\\\
&=y ・・・(19)
\end{align*}$$

 

$(19)$式は図4に示すように、$\displaystyle{(x,y)=(0,a),\ (x_0, y_0)}$を通る曲線を表す。

ただし、$(x_0,y_0)$は曲線上の任意の点である。

 

図4  架空送配電線$\left(0\leq x \leq x_0,\ a\leq y \leq y_0\right)$

 

ここで、$(19)$式の曲線を電線全体に適用するため、$x,y$の範囲を図5のように拡張させる。

 

図5 検討範囲の電線全体への拡張

 

図5のように、図4の曲線が$(0,0)$を通るようにすると、$(19)$式より、

$$y=\frac{x^2}{2a} ・・・(20)$$

 

$(20)$式の曲線は、図5より$\displaystyle{\left(\frac{S}{2},D\right)}$も通るため、$\displaystyle{a=\frac{T}{W}}$であることも考慮すると、結局、

$$D=\frac{\left(\displaystyle{\frac{S}{2}}\right)^2}{2\times\displaystyle{\frac{T}{W}}}=\frac{WS^2}{8T}$$

となり、電線のたるみ(弛度)の式である$(1)$式が導かれる。

 

電線の実長の式の導出

一方、$(12)$式の$l$は、$(17)$および$(18)$式より、

$$\begin{align*}
l&\simeq\frac{a}{2}\left(\frac{2x}{a}+\frac{x^3}{3a^3}\right)\\\\
&=x+\frac{x^3}{6a^2} ・・・(21)
\end{align*}$$

 

電線の実長を$L$とすると、$\displaystyle{\left(x,y\right)=\left(\frac{S}{2},D\right)}$のとき、$(21)$式より電線の長さ$l$は電線の実長の半分$\displaystyle{\frac{L}{2}}$に等しくなるため、

$$\begin{align*}
\frac{L}{2}&\simeq\frac{S}{2}+\frac{\displaystyle{\left(\frac{S}{2}\right)^3}}{\displaystyle{6\left(\frac{T}{W}\right)^2}}\\\\
&=\displaystyle{\frac{S}{2}+\frac{S^3}{8\times6\times\displaystyle{\frac{T^2}{W^2}}}}\\\\
&=\frac{S}{2}+\frac{W^2S^3}{48T^2}\\\\
&=\frac{S}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3S}\cdot\left(\frac{WS^2}{8T}\right)^2\\\\
&=\frac{1}{2}\left(S+\frac{8D^2}{3S}\right)\\\\
\therefore L&=S+\frac{8D^2}{3S}
\end{align*}$$

となり、電線の実長の式である$(2)$式が導かれる。





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電験三種

 

参考文献

 

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