本記事では、往復導体の作用インダクタンスについて記述する。
往復導体の諸元
図1のように、半径r[m]の円筒状の導体1に電流i[A]が、同様の形状の導体2に逆向きの電流–i[A]が流れている場合を考える。
図1 往復導体
図1の導体の断面方向の位置関係を図2に示す。
図2 往復導体の断面図
図2において、導体の中心間の距離を$D[\mathrm{m}]$，空間上の任意の点$y$と各導体の中心間の距離をそれぞれ$D_1[\mathrm{m}]$，$D_2[\mathrm{m}]$とする。
鎖交磁束の計算
導体1の電流による鎖交磁束
導体1に流れる電流$i$によって生じる磁束が導体1の単位長あたりに鎖交する数$\Psi_{11}[\mathrm{Wb}]$（ただし、考慮する範囲は距離$D_1$までとする）は、「円筒導体の鎖交磁束とインダクタンス」の$(9)$式を用いて、
$$\Psi_{11}=\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_1}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i ・・・(1)$$
ただし、$\mu_0$は真空の透磁率、かつ空気の比透磁率は$1$とする。
本記事では、円筒導体に流れる電流による鎖交磁束および導体の自己インダクタンスの式を導出する。導体外部の鎖交磁束図1のように、半径がr[m]である円筒導体に電流i[A]が流れている場合を考える。 […]
導体2の電流による鎖交磁束
次に、導体2の電流$-i$によって任意の距離$x$に生じる磁束$\phi_{12}[\mathrm{Wb}]$は、
$$\begin{align*}
d\phi_{12}&=\frac{\left(-i\right)}{\displaystyle{\frac{2\pi x}{\mu_0 dx}}}\\\\
&=-\frac{\mu_0 i}{2\pi x}dx ・・・(2)
\end{align*}$$
導体2の巻回数は$1$とみなせるから、磁束$d\phi_{12}$は導体1の単位長あたりへの鎖交磁束$d\psi_{12}[\mathrm{Wb}]$と等しく、$(2)$式より、
$$\begin{align*}
d\psi_{12}&=1\times d\phi_{12}\\\\
&=-\frac{\mu_0 i}{2\pi x}dx ・・・(3)
\end{align*}$$
したがって、$d\psi_{12}$が導体1に鎖交する数$\Psi_{12}[\mathrm{Wb}]$は、$x$の範囲を$D\leq x\leq D_1$として、$(3)$式より、
$$\begin{align*}
\Psi_{12}&=\int^{D_1}_{D}d\psi_{12}\\\\
&=\int^{D_1}_{D}\left(-\frac{\mu_0 i}{2\pi x}\right)dx\\\\
&=-\frac{\mu_0 i}{2\pi}\left[\ln x\right]^{D_1}_{D}\\\\
&=-\frac{\mu_0 i}{2\pi}\ln\frac{D_1}{D}\\\\
&=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\ln\frac{D}{D_1} ・・・(4)
\end{align*}$$
ゆえに、導体1に鎖交する全磁束数$\Psi_1$は、
$$\begin{align*}
\Psi_1&=\Psi_{11}+\Psi_{12}\\\\
&=\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_1}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i+\frac{\mu_0 i}{2\pi}\ln\frac{D}{D_1}\\\\
&=\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_1}{r}\cdot\frac{D}{D_1}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i\\\\
&=\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i ・・・(5)
\end{align*}$$
往復導体の作用インダクタンス
導体1の単位長あたりのインダクタンス$L_1[\mathrm{H/m}]$は、単位電流が流れたときの鎖交磁束に等しいため、$(5)$式より、
$$L_1=\frac{\Psi_1}{i}=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi} ・・・(6)$$
となり、「円筒導体の鎖交磁束とインダクタンス」の$(10)$式と同じ結果になる。
$(6)$式は導体2について考えた場合でも同じ結果になり、$L_{1}$は往復導体の作用インダクタンスという。
なお、透磁率$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$，$\log_{10}e=0.43429$を用いると、$(6)$式は、
$$\begin{align*}
L&=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\cdot\frac{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}{\log_{10}e}+\frac{4\pi\times10^{-7}}{8\pi}\\\\
&=\frac{2}{0.43429}\times\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}\times10^{-7}+0.5\times10^{-7}\\\\
&=\left(0.46052\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}+0.05\right)\times10^{-6}[\mathrm{H/m}]\\\\
&=0.46052\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}+0.05[\mathrm{mH/km}] ・・・(7)
\end{align*}$$
$(7)$式が往復導体の単位長あたりの作用インダクタンスの一般式である。
本記事では、平行に設置された複数の円筒導体からなる「往復多導体」の鎖交磁束およびインダクタンスの式を導出する。[sitecard subtitle=関連記事 url=https://denki-no-shinzui.com/indu[…]
関連する例題（「電験王」へのリンク）
電験一種
電験三種
参考文献
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
- 新田目倖造『電力系統技術計算の基礎』電気書院，1981
著書・製品のご紹介
『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている！
※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]
この講座との出会いは、数学が苦手なあなたを救う！
電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！
※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！ 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]
初学者が躓きがちなギモンを、電験アカデミアがスッキリ解決します！
※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]