円筒導体の鎖交磁束とインダクタンス

本記事では、円筒導体に流れる電流による鎖交磁束および導体の自己インダクタンスの式を導出する。





導体外部の鎖交磁束

図1のように、半径が$r[\mathrm{m}]$である円筒導体に電流$i[\mathrm{A}]$が流れている場合を考える。

 

図1 円筒導体

 

まず、電流$i$が作り出す導体外部の磁束が、導体の長さ$1\mathrm{m}$の部分を鎖交する数を求める。

 

図2のように、導体表面から距離$x[\mathrm{m}]$にある微小厚さ$dx[\mathrm{m}]$の円筒形の磁気回路(図の斜線部分)を考える。

 

図2 円筒導体の断面図($x\geq r$)

 

斜線部分の磁気抵抗$R_m[\mathrm{AT/Wb}]$は、磁路長が$2\pi x[\mathrm{m}]$,断面積が$1\times dx=dx[\mathrm{m^2}]$であるから、空気の比透磁率を$1$とすると、

$$R_m=\frac{2\pi x}{\mu_0 dx} ・・・(1)$$

 

導体に電流$i[\mathrm{A}]$が流れているとき、斜線部分に生じる磁束$d\phi_1[\mathrm{Wb}]$は、$(1)$式および磁気回路におけるオームの法則より、

$$\begin{align*}
d\phi_1&=\frac{1\times i}{R_m}\\\\
&=\frac{i}{\displaystyle{\frac{2\pi x}{\mu_0 dx}}}\\\\
&=\frac{\mu_0 i}{2\pi x}dx ・・・(2)
\end{align*}$$

 

導体の巻回数は$1$とみなせるから、斜線部分における磁束$d\phi_1$は導体の鎖交磁束$d\psi_1[\mathrm{Wb}]$と等しく、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
d\psi_1&=1\times d\phi_1\\\\
&=\frac{\mu_0 i}{2\pi x}dx ・・・(3)
\end{align*}$$

 

したがって、外側空間の任意の距離を$D[\mathrm{m}]$とすると、距離$D$までの導体外部における鎖交磁束数$\Psi_1[\mathrm{Wb}]$は、

$$\begin{align*}
\Psi_1&=\int^{D}_{r}d\psi_1\\\\
&=\int^{D}_{r}\frac{\mu_0 i}{2\pi x}dx\\\\
&=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\left[\ln x\right]^{D}_{r}\\\\
&=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\ln\frac{D}{r} ・・・(4)
\end{align*}$$

 

導体内部の鎖交磁束

次に、電流$i$が導体内部に作り出す磁束が、導体の長さ$1\mathrm{m}$の部分を鎖交する数を求める。

 

図3のように、導体中心から距離$x[\mathrm{m}]\left(<r\right)$にある微小厚さ$dx[\mathrm{m}]$の円筒形の部分(図の斜線部分)を考える。

図3 円筒導体の断面図($x<r$)

 

電流$i$が円筒導体内を一様に流れていると仮定すると、半径$x\left(0\leq x< r\right)$における電流$i_x[\mathrm{A}]$は、

$$\begin{align*}
i_x&=\frac{\pi x^2}{\pi r^2}i\\\\
&=\frac{x^2}{r^2}i ・・・(5)
\end{align*}$$

 

図3の微小厚さ$dx[\mathrm{m}]$の円筒形部分における磁束$d\phi_2[\mathrm{Wb}]$は、$(2)$式の導出と同様の考え方で、$(5)$式より、

$$\begin{align*}
d\phi_2&=\frac{\mu_0 i_x}{2\pi x}dx\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi x}dx\cdot\frac{x^2}{r^2}i\\\\
&=\frac{\mu_0 ix}{2\pi r^2}dx ・・・(6)
\end{align*}$$

 

導体内部において、$d\phi_2$が鎖交する部分の巻回数は$x$までの断面積に比例して$\displaystyle{\frac{x^2}{r^2}}\left(<1\right)$回と考えることができるので、導体の鎖交磁束数$d\psi_2[\mathrm{Wb}]$は、$(6)$式より、

$$\begin{align*}
d\psi_2&=\frac{\mu_0 ix}{2\pi r^2}dx\times\frac{x^2}{r^2}\\\\
&=\frac{\mu_0 ix^3}{2\pi r^4}dx
\end{align*}$$

 

したがって、導体内部の全鎖交磁束$\Psi_2[\mathrm{Wb}]$は、$(7)$式を$x=0\sim r$の範囲で積分して、

$$\begin{align*}
\Psi_2&=\int^{r}_{0}d\psi_2\\\\
&=\int^{r}_{0}\frac{\mu_0 ix^3}{2\pi r^4}dx\\\\
&=\frac{\mu_0 i}{2\pi r^4}\left[\frac{1}{4}x^4\right]^{r}_{0}\\\\
&=\frac{\mu_0 i}{8\pi} ・・・(8)
\end{align*}$$

 

 

円筒導体の自己インダクタンス

$(4)$および$(8)$式より、円筒導体に流れる電流が作り出す全鎖交磁束$\Psi[\mathrm{Wb}]$は、

$$\begin{align*}
\Psi&=\Psi_1+\Psi_2\\\\
&=\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i ・・・(9)
\end{align*}$$

 

導体の単位長あたりの自己インダクタンス$L[\mathrm{H/m}]$は、単位電流が流れたときの鎖交磁束に等しいため、$(9)$式より、

$$L=\frac{\Psi}{i}=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi} ・・・(10)$$

 

ここで、透磁率$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$,$\log_{10}e=0.43429$を用いると、$(10)$式は、

$$\begin{align*}
L&=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\cdot\frac{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}{\log_{10}e}+\frac{4\pi\times10^{-7}}{8\pi}\\\\
&=\frac{2}{0.43429}\times\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}\times10^{-7}+0.5\times10^{-7}\\\\
&=\left(0.46052\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}+0.05\right)\times10^{-6}[\mathrm{H/m}]\\\\
&=0.46052\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}+0.05[\mathrm{mH/km}] ・・・(11)
\end{align*}$$

 

$(11)$式が円筒導体の単位長あたりの自己インダクタンスの一般式である。





関連する例題(「電験王」へのリンク)

電験二種

 

参考文献

  • 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版,2015
  • 新田目倖造『電力系統技術計算の基礎』電気書院,1981

 

関連記事

本記事では、往復導体の作用インダクタンスについて記述する。[afTag id=11282]往復導体の諸元図1のように、半径$r[\mathrm{m}]$の円筒状の導体1に電流$i[\mathrm{A}]$が、同様の形状の導体[…]

関連記事

本記事では、平行な円筒導体間の静電容量および導体の作用静電容量の式を導出する。[afTag id=11282]円筒導体の電界および電位分布導体表面の電荷による電界図1のように、半径$r[\mathrm{m}]$の円筒状の[…]

関連記事

本記事では、往復多導体の鎖交磁束およびインダクタンスの式を導出する。[afTag id=11282]多導体の鎖交磁束図1のように、$n$本の平行に設置された一様な円筒導体に、それぞれ電流$i_1,\ i_2,\ \cdots[…]

関連記事

本記事では、多導体送電線のインダクタンスの式を導出し、かつ多導体送電線の等価半径について記述する。[afTag id=11282]2導体送電線のインダクタンスと等価半径2導体送電線送電線の1相あたりの導体本数を複数本以上[…]