一線断線時の故障計算(対称座標法)

対称座標法を用いた一線断線故障計算について解説する。

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一線断線故障時の回路

一線断線故障時の回路を図1に示す。

同図では、電源を含む三相電力系統$A$および$B$の間を繋ぐ送電線のうち、$a$相が断線している状態である。

同図のうち、断線地点を$D_A$および$D_B$とする。

また、各端子間の電圧を$\dot{V_a},\ \dot{V_b},\ \dot{V_c}\ $, 端子間に流れる電流を$\dot{I_a},\ \dot{I_b},\ \dot{I_c}\ $とする。

図1 一線断線故障時の回路

一線断線時の故障計算

故障時の初期条件

図1の回路より、$a$相一線断線時の電圧・電流の初期条件を考える。
$a$相端子は断線しているため、$D_A$-$D_B$端子間は開放状態であることより、

$$\dot{I_a}=0 ・・・(1)$$

また、健全な$b$および$c$相は断線していない、すなわち$D_A$-$D_B$端子間は短絡している状態であるから、

$$\dot{V_b}=\dot{V_c}=0 ・・・(2)$$

0-1-2領域への変換式

$D_A$および$D_B$各端子の$a−b−c$領域における電圧・電流について、$0−1−2$変換を行う。
(変換式の導出は「変換の基本式」を参照)

なお、下記の電圧の式において、左添字$A$および$B$は各系統における電圧を示している。

$$\begin{align*}
&\dot {V_a}=({_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0})+({_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1})+({_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2})& ・・・(3)\\
&\dot {V_b}=({_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0})+a^2({_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1})+a({_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2})&  ・・・(4)\\
&\dot {V_c}=({_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0})+a({_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1})+a^2({_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2})& ・・・(5) \\\\
&\dot {I_a}=\dot {I_0}+\dot{I_1}+\dot{I_2}& ・・・(6)\\
&\dot {I_b}=\dot {I_0}+a^2\dot{I_1}+a\dot{I_2}& ・・・(7)\\
&\dot {I_c}=\dot {I_0}+a\dot{I_1}+a^2\dot{I_2}& ・・・(8)
\end{align*}$$

そして、三相電力系統$A$および$B$の故障前の$a$相電源電圧をそれぞれ$ {_A} \dot{E_a},\ {_B}\dot{E_a}$, 各系統の零相・正相・逆相インピーダンスをそれぞれ$ {_A} \dot{Z_0},\ {_B} \dot{Z_0},\ {_A} \dot{Z_1},\ {_B} \dot{Z_1},\ {_A} \dot{Z_2},\{_B} \dot{Z_2} $とすると、「発電機の基本式」より、

$$\begin{align}
– {_A}\dot{V_0}&= {_A} \dot{Z_0}\dot{I_0}& &・・・(9)\\
{_B}\dot{V_0}&= {_B} \dot{Z_0}\dot{I_0}& &・・・(10)\\
{_A}\dot{E_a}- {_A}\dot{V_1}&= {_A}\dot{Z_1}\dot{I_1}& &・・・(11)\\
-({_B}\dot{E_a}- {_B}\dot{V_1})&= {_B}\dot{Z_1}\dot{I_1} & &・・・(12)\\
– {_A} \dot{V_2}&=\dot{Z_2} {_A} \dot{I_2}& &・・・(13)\\
{_B} \dot{V_2}&= {_B} \dot{Z_2}\dot{I_2}& &・・・(14)
\end{align}$$

$(9)$~$(14)$式に基づいた$0-1-2$成分回路を図2に示す。同図のうち、端子$D_A,\ D_B$をはさんで左側の回路が系統$A$, 右側の回路が系統$B$を示している。

ここで、端子$D_A$-$D_B$端子間の$0-1-2$電圧を$\dot{V_0},\ \dot{V_1},\ \dot{V_2}$とすると、定義は下記となる。

$$\begin{align}
\dot{V_0}&={_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0}& &・・・(15)\\
\dot{V_1}&={_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1} & &・・・(16)\\
\dot{V_2}&={_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2} & &・・・(17)\\
\end{align}$$

図2 系統$A$および$B$の$0-1-2$成分回路

0-1-2電圧・電流の計算

$(1)$および$(6)$式より、

$$\dot {I_a}=\dot {I_0}+\dot{I_1}+\dot{I_2}=0 ・・・(18)$$

また、$(2)$, $(4)$および$(5)$式より、$(15)$~$(17)$と合わせて、

$$\begin{align}
&({_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0})+a^2({_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1})+a({_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2})\\
=&({_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0})+a({_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1})+a^2({_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2})\\\\
&\therefore {_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0}={_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1}={_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2}\\\\
&      \dot{V_0}=\dot{V_1}=\dot{V_2}  ・・・(19)
\end{align}$$

さらに、$(9)$~$(14)$式より、

$$\begin{align}
\dot{I_0}&=-\frac{{_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0}}{{_A} \dot{Z_0}+{_B} \dot{Z_0}}& &・・・(20)\\\\
\dot{I_1}&=\frac{({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a})-({_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1})}{{_A} \dot{Z_1}+{_B} \dot{Z_1}}& &・・・(21)\\\\
\dot{I_2}&=-\frac{{_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2}}{{_A} \dot{Z_2}+{_B} \dot{Z_2}}& &・・・(22)
\end{align}$$

$(20)$~$(22)$式を$(18)$式に代入すると、$(15)$~$(17)$と合わせて、

$$-\frac{{_A}\dot{V_0}-{_B}\dot{V_0}}{{_A} \dot{Z_0}+{_B} \dot{Z_0}}+ \frac{({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a})-({_A}\dot{V_1}-{_B}\dot{V_1})}{{_A} \dot{Z_1}+{_B} \dot{Z_1}} -\frac{{_A}\dot{V_2}-{_B}\dot{V_2}}{{_A} \dot{Z_2}+{_B} \dot{Z_2}} =0\\\\
-\frac{\dot{V_0}}{\dot{Z_0}}+ \frac{\dot{E_a}-\dot{V_1}}{\dot{Z_1}} -\frac{\dot{V_2}}{\dot{Z_2}} =0 ・・・(23)$$

ただし、
$$\begin{align*}
\dot{E_a}&={_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a}\\
\dot{Z_0}&={_A}\dot{Z_0}+{_B}\dot{Z_0}\\
\dot{Z_1}&={_A}\dot{Z_1}+{_B}\dot{Z_1}\\
\dot{Z_2}&={_A}\dot{Z_2}+{_B}\dot{Z_2}
\end{align*}$$

$(19)$, $(23)$式から$\dot{V_1}$を求めると、

$$\begin{align*}
-\dot{Z_1} \dot{Z_2}\dot{V_1}+\dot{Z_2} \dot{Z_0}(\dot{E_a}-\dot{V_1})-\dot{Z_0} \dot{Z_1}\dot{V_1}&=0\\\\
\therefore \dot{V_1}=\dot{V_0}=\dot{V_2}=\frac{ \dot{Z_2} \dot{Z_0}}{ \dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0} } \dot{E_a}&≡\frac{ \dot{Z_2} \dot{Z_0}}{\Delta} \dot{E_a} ・・・(24)
\end{align*}$$

ただし、$\Delta=\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0}$

$(24)$式を$(20)$~$(22)$式に代入すると、

$$\begin{align}
\dot{I_0}&=-\frac{ \dot{Z_2}}{\Delta} \dot{E_a} & &・・・(25)\\\\
\dot{I_1}&= \frac{ \dot{Z_2}+\dot{Z_0}}{\Delta} \dot{E_a} & &・・・(26)\\\\
\dot{I_2}&= -\frac{ \dot{Z_0}}{\Delta} \dot{E_a}& &・・・(27)
\end{align}$$

一線断線故障時の0-1-2回路

$(24)$~$(27)$式に基づき、図2の回路ベースで一線断線故障時の接続を追加したものを図3に示す。

同図より、系統$A$および$B$内で、各成分の回路が並列接続されている状態であることがわかる。

図3 一線断線故障時の$0-1-2$回路

一線断線時の$a-b-c$電圧・電流の計算

$(24)$~$(27)$式を逆変換し、$a-b-c$領域の電圧・電流を求める。

各成分の電圧について、行列表示にて逆変換の計算を行うと、

$ \begin{align*}\left( \begin{array}{c} \dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array} \right)= \boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array} \right)&= \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2\end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot{V_0} \\ \dot{V_0}\\ \dot{V_0}\end{array} \right) =\frac{\dot{Z_2}\dot{Z_0}\dot{E_a} }{\Delta}\left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0\end{array} \right)\\\\\therefore\dot{V_a}&=\frac{3\dot{Z_2}\dot{Z_0} }{\Delta}\dot{E_a},\ \dot{V_b}=\dot{V_c}=0 ・・・(28)\end{align*}$

ただし、$\Delta=\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0}$

次に、各成分の電流について、行列表示にて逆変換の計算を行うと、

$ \begin{align*}\left( \begin{array}{c} \dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right)&= \boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2\end{array} \right)\frac{ \dot{E_a} }{\Delta}\left( \begin{array}{c} -\dot{Z_2} \\ \dot{Z_2}+\dot{Z_0}\\ -\dot{Z_0}\end{array} \right)\\\\&=\frac{ \dot{E_a} }{\Delta}\left( \begin{array}{c} 0 \\ (a^2-1)\dot{Z_2}+(a^2-a)\dot{Z_0} \\ (a-1)\dot{Z_2}+(a-a^2)\dot{Z_0}\end{array} \right)\\\\\dot{I_a}&=0 ・・・(29),\ \\\\\dot{I_b}&=\frac{(a^2-1)\dot{Z_2}+(a^2-a)\dot{Z_0}}{\Delta}\dot{E_a}・・・(30)\\\\\dot{I_c}&=\frac{(a-1)\dot{Z_2}+(a-a^2)\dot{Z_0}}{\Delta}\dot{E_a} ・・・(31)\end{align*}$

計算結果のまとめ

一線断線故障時の$0-1-2$成分電圧・電流は、一部省略せずに記載すると、

$$\begin{align*}
\dot{V_0}=\dot{V_1}=\dot{V_2}&=\frac{ \dot{Z_2} \dot{Z_0}}{ \dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0} }({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a})& &・・・(24)\\\\\dot{I_0}&=-\frac{ \dot{Z_2}}{\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0} }({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a}) & &・・・(25)\\\\
\dot{I_1}&= \frac{ \dot{Z_2}+\dot{Z_0}}{\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0} }({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a}) & &・・・(26)\\\\
\dot{I_2}&= -\frac{ \dot{Z_0}}{\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0} }({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a})& &・・・(27) \end{align*}$$

一線断線故障時の$a-b-c$成分電圧・電流は、一部省略せずに記載すると、

$$\begin{align*}\dot{V_a}&=\frac{3\dot{Z_2}\dot{Z_0} }{\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2} \dot{Z_0}}({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a}),\ \dot{V_b}=\dot{V_c}=0 &・・・(28)\\\\\dot{I_a}&=0 &・・・(29)\\\\\dot{I_b}&=\frac{(a^2-1)\dot{Z_2}+(a^2-a)\dot{Z_0}}{\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2}\dot{Z_0}}({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a}) &・・・(30)\\\\\dot{I_c}&=\frac{(a-1)\dot{Z_2}+(a-a^2)\dot{Z_0}}{\dot{Z_0} \dot{Z_1}+\dot{Z_1} \dot{Z_2}+ \dot{Z_2}\dot{Z_0}}({_A}\dot{E_a}-{_B}\dot{E_a}) &・・・(31) \end{align*}$$

ただし、$\dot{Z_0}={_A}\dot{Z_0}+{_B}\dot{Z_0},\ \dot{Z_1}={_A}\dot{Z_1}+{_B}\dot{Z_1},\ \dot{Z_2}={_A}\dot{Z_2}+{_B}\dot{Z_2}$


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