本記事では、対称座標法を用いた三相短絡故障および三線地絡故障の計算について解説する。
三相短絡故障
故障発生時の回路
図1に三相短絡故障発生時の回路を示す。
同図より、 $F$点$a,\ b\ ,\ c$相端子は文字通りすべて短絡された状態になっている。
図1 三相短絡故障時回路
故障時の初期条件
図1の回路より、$a-b-c$相三相短絡時の電圧・電流の初期条件を考える。
$F$点$a-b-c$相端子はすべて短絡状態にあり、大地には接続されていないことより、
$$\begin{align}
&\dot{V_a}= \dot{V_b} =\dot{V_c} &・・・(1)\\\\
&\dot{I_a}+\dot{I_b}+\dot{I_c}=0 &・・・(2)
\end{align}$$
0－1－2領域への変換式
$F$点各端子の$a−b−c$領域における電圧・電流について、$0−1−2$変換を行うと、
（変換式の導出は「変換の基本式」を参照）
$$\begin{align*}
&\dot {V_a}＝\dot { { V }_{ 0 } }+\dot{V_1}+\dot{V_2}& ・・・(3)\\
&\dot { { V }_{ b } }＝\dot { { V }_{ 0 } }+a^2\dot{V_1}+\ a\dot{V_2}& ・・・(4)\\
&\dot { { V }_{ c } }＝\dot { { V }_{ 0 } } +\ a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2} & ・・・(5) \\\\
&\dot {I_a}＝\dot { { I }_{ 0 } }+\dot{I_1}+\dot{I_2}& ・・・(6)\\
&\dot { {I }_{ b } }＝\dot { { I }_{ 0 } }+a^2\dot{I_1}+a\dot{I_2}& ・・・(7)\\
&\dot { { I }_{ c } }＝\dot { { I }_{ 0 } } +a\dot{I_1}+a^2\dot{I_2}& ・・・(8)
\end{align*}$$
そして、三相電力系統の故障前の$a$相電源電圧を$\dot{E_a},\ $系統の零相・正相・逆相インピーダンスをそれぞれ$\dot { {Z}_{ 0 } },\ \dot { {Z }_{ 1 } },\ \dot { {Z}_{ 2 } }$とすると、「発電機の基本式」より、
$$\begin{align}
-\dot{V_0}&=\dot{Z_0}\dot{I_0}& &・・・(9)\\
\dot{E_a}-\dot{V_1}&=\dot{Z_1}\dot{I_1}& &・・・(10)\\
-\dot{V_2}&=\dot{Z_2}\dot{I_2}& &・・・(11)
\end{align}$$
電圧・電流の0－1－2変換
まず、電流について$(6)+(7)+(8)$とすると、$(2)$式と合わせて、
$$\begin{align}
3\dot{I_0}&=0\\
\therefore\dot{I_0}&=0
\end{align}$$
これと$(9)$式より、
$$\dot{V_0}=0$$
次に、電圧について$(1)$式に$(3)$～$(5)$式を代入し、 $\dot{V_0}=0$と合わせて整理すると、
$$\dot{V_0}=\dot{V_1}=\dot{V_2}=0$$
これと$(10),\ (11)$より、
$$\dot{I_1}=\frac{ \dot{E_a} }{ \dot{Z_1} },\ \dot{I_2}=0 $$
以上より、$0-1-2$電圧・電流について整理すると、
$$\begin{align}
\dot{V_0}&=\dot{V_1}=\dot{V_2}=0 &・・・(12)\\
\dot{I_0}&=\dot{I_2}=0,\ \dot{I_1}=\frac{\dot{E_a}}{\dot{Z_1}} &・・・(13)
\end{align}$$
故障発生時の短絡電流・相電圧
故障発生時の短絡電流は、$(2)$, $(6)$～$(8)$および$(13)$式より、
$$\begin{cases}
\dot{I_a}&=\dot{I_1}&=\displaystyle{\frac{\dot{E_a}}{\dot{Z_1}}}\\\\
\dot{I_b}&=a^2\dot{I_1}&=\displaystyle{\frac{a^2\dot{E_a}}{\dot{Z_1}}}\\\\
\dot{I_c}&=a\dot{I_1}&=\displaystyle{\frac{a\dot{E_a}}{\dot{Z_1}}}
\end{cases} ・・・(14)$$
また、各相電圧は、$(1)$, $(3)$および$(12)$より、
$$\dot{V_a}=\dot{V_b}=\dot{V_c}=0 ・・・(15)$$
$(12)$および$(13)$式から導かれる三相短絡故障時の$0-1-2$成分回路を図2に示す。
同図より、三相短絡故障時は正相回路のみ短絡され、零相および逆相回路は電気的に接続されない状態で表されることがわかる。
すなわち、短絡電流は正相成分のみ、相電圧はすべてゼロとなる。
図2 三相短絡故障時の$0-1-2$回路
三線地絡故障
地絡抵抗なしの場合
地絡抵抗を考慮しない場合の三線地絡故障発生時の回路を図3に示す。
同図より、 $F$点$a,\ b\ ,\ c$相端子はすべて大地に接続された状態になっている。
図3 三線地絡故障時回路（地絡抵抗なし）
図3より、故障時の初期条件を考えると、
$$\dot{V_a}=\dot{V_b}=\dot{V_c}=0$$
上式は$(15)$式と同一であるのは明らかである。
このとき、$(9)$～$(11)$式より、
$$\begin{cases}
0&=\dot{Z_0}\dot{I_0}\\\\
\dot{E_a}&=\dot{Z_1}\dot{I_1}\\\\
0&=\dot{Z_2}\dot{I_2}
\end{cases}$$
$$\therefore\dot{I_1}=\frac{\dot{E_a}}{\dot{Z_1}},\ \dot{I_0}=\dot{I_2}=0$$
したがって、地絡抵抗がない場合の三線地絡故障の場合の故障電流および各相電圧は、三相短絡故障と同一となり$(14)$および$(15)$式で表される。さらに、$0-1-2$成分回路も図2と同一となる。
すなわち、地絡電流は正相成分のみ、相電圧はすべてゼロとなる。
地絡抵抗ありの場合
地絡抵抗を考慮する場合の三線地絡故障発生時の回路を図4に示す。
同図より、$a,\ b\ ,\ c$相端子はすべて地絡抵抗$R$を介して大地に接続された状態になっている。
図4 三線地絡故障時回路（地絡抵抗なし）
図4より、故障時の初期条件を考えると、
$$\dot{V_a}= \dot{V_b} =\dot{V_c}=R(\dot{I_a}+\dot{I_b}+\dot{I_c}) ・・・(16)$$
$(16)$式より、
$$\dot{V_1}=\dot{V_2}$$
が成り立つため、$(16)$式は、$(4)$および$(6)$～$(8)$式より、下記のように書き換えられる。
$$\dot{V_0}+2\dot{V_1}=\dot{V_0}-\dot{V_1}=3R\dot{I_0} ・・・(17)$$
上式が成り立つためには、$\dot{V_1}=0(=\dot{V_2})$である必要がある。
これと$(10),\ (11)$式より、
$$\dot{I_1}=\frac{ \dot{E_a} }{ \dot{Z_1}},\ \dot{I_2}=0$$
さらに、$(9)$式と$(17)$式が同時に成り立つためには$\dot{V_0}=0(=\dot{V_1}=\dot{V_2}),\ \dot{I_0}=0(=\dot{I_2})$である必要がある。
したがって、地絡抵抗がある場合の三線地絡故障の場合の故障電流および各相電圧は、地絡抵抗がない場合と結局同一となり、$(14)$および$(15)$式で表される。さらに、$0-1-2$成分回路も図2と同一となる。
すなわち、地絡電流は正相成分のみ、相電圧はすべてゼロとなる。
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