本記事では、対称座標法を用いた二線地絡故障の計算について解説する。
二線地絡故障時の回路
図1に二線地絡故障発生時（地絡抵抗ありの場合）の回路を示す。
同図では、 $F$点$b$および$c$相端子が地絡抵抗Rを介して大地に接続され、$a$相は開放状態になっている。
図1 二線地絡故障時回路（地絡抵抗あり）
二線地絡時の故障計算
故障時の初期条件
図1の回路より、$b\ ,c$相二線地絡時の電圧・電流の初期条件を考える。
$b$および$c$相端子は地絡抵抗Rを介して大地に接続されているので、
$$\dot{V_b}= \dot{V_c} =R(\dot{I_b}+ \dot{I_c}) ・・・(1)$$
また、$a$相端子は開放状態であるから、
$$\dot{I_a}=0 ・・・(2)$$
0－1－2領域への変換式
$F$点各端子の$a−b−c$領域における電圧・電流について、$0−1−2$変換を行うと、
（変換式の導出は「変換の基本式」を参照）
$$\begin{align*}
&\dot {V_a}＝\dot { { V }_{ 0 } }+\dot{V_1}+\dot{V_2}& ・・・(3)\\
&\dot { { V }_{ b } }＝\dot { { V }_{ 0 } }+a^2\dot{V_1}+\ a\dot{V_2}& ・・・(4)\\
&\dot { { V }_{ c } }＝\dot { { V }_{ 0 } } +\ a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2} & ・・・(5) \\\\
&\dot {I_a}＝\dot { { I }_{ 0 } }+\dot{I_1}+\dot{I_2}& ・・・(6)\\
&\dot { {I }_{ b } }＝\dot { { I }_{ 0 } }+a^2\dot{I_1}+a\dot{I_2}& ・・・(7)\\
&\dot { { I }_{ c } }＝\dot { { I }_{ 0 } } +a\dot{I_1}+a^2\dot{I_2}& ・・・(8)
\end{align*}$$
そして、三相電力系統の故障前の$a$相電源電圧を$\dot{E_a},\ $系統の零相・正相・逆相インピーダンスをそれぞれ$\dot { {Z}_{ 0 } },\ \dot { {Z }_{ 1 } },\ \dot { {Z}_{ 2 } }$とすると、「発電機の基本式」より、
$$\begin{align}
-\dot{V_0}&=\dot{Z_0}\dot{I_0}& &・・・(9)\\
\dot{E_a}-\dot{V_1}&=\dot{Z_1}\dot{I_1}& &・・・(10)\\
-\dot{V_2}&=\dot{Z_2}\dot{I_2}& &・・・(11)
\end{align}$$
0－1－2電圧・電流の計算
$(1)$および$(4)$, $(5)$より、
$$\begin{align*}
\dot { { V }_{ 0 } }+a^2\dot{V_1}+\ a\dot{V_2}&=\dot { { V }_{ 0 } } +\ a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2}\\\\
(a^2-a)\dot{V_1}&=(a^2-a)\dot{V_2}\\\\
\therefore\dot{V_1}&=\dot{V_2} ・・・(12)
\end{align*}$$
また、$(1)$～$(2)$および$(6)$～$(8)$式より、
$$\begin{align*}
R(\dot {I_b}+\dot{I_c})&=R(2\dot {I_0}-\dot{I_1}-\dot{I_2})\\\\
&=3R\dot{I_0}(\because \dot {I_0}=-\dot{I_1}-\dot{I_2}) ・・・(13)
\end{align*}$$
$(4),\ (11),\ (12),\ (13)$より、
$$\begin{align*}
\dot {V_b}=\dot {V_c}&=\dot {V_0}-\dot{V_1}=3R\dot{I_0}\\\\
\dot{V_1}&=\dot {V_0}-3R\dot{I_0}\\\\
&= \dot {V_0}+3R\cdot\frac{ \dot {V_0} }{ \dot {Z_0} }\\\\
&=\frac{\dot {Z_0}+3R}{ \dot {Z_0} }\dot {V_0}\\\\
\therefore\dot {V_0}&=\frac{\dot {Z_0}}{ \dot {Z_0}+3R}\dot{V_1} ・・・(14)
\end{align*}$$
また、$(9)$～$(11)$式を$(12)\, (14)$式を用いて変形すると、
$$\begin{align}
\dot{I_0}&=-\frac{\dot{V_0}}{\dot{Z_0}}=-\frac{\dot{V_1} }{ \dot {Z_0}+3R}& ・・・(9)’\\\\
\dot{I_1}&=\frac{\dot{E_a}- \dot{V_1}}{\dot{Z_1}} &・・・(10)’\\\\
\dot{I_2}&=-\frac{\dot{V_2}}{\dot{Z_2}}= -\frac{\dot{V_1}}{\dot{Z_2}} &・・・(11)’
\end{align}$$
$(9)’,\ (10)’,\ (11)’,\ (14)$式を$(6)$式に代入して、
$$\begin{align}
\dot {I_a}=\dot {I_0}+\dot{I_1}+\dot{I_2}&=0\\\\
\frac{\dot{E_a}- \dot{V_1}}{\dot{Z_1}}-\frac{\dot{V_1}}{\dot{Z_2}}-\frac{\dot{V_1}}{ \dot {Z_0}+3R}&=0
\end{align}$$
$$\begin{align}
\frac{\dot{E_a}}{ \dot {Z_1}}&=\left(\frac{1}{\dot {Z_1}}+\frac{1}{\dot {Z_2}}+\frac{1}{\dot {Z_0}+3R}\right)\dot{V_1}\\\\
\therefore\dot {V_1}&=\frac{ \displaystyle{ \frac{1}{\dot {Z_1}}}}{ \displaystyle{ \frac{1}{\dot {Z_1}}+\frac{1}{\dot {Z_2}}+\frac{1}{\dot {Z_0}+3R}}} \dot {E_a}\\\\
&=\frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)}{ \dot {Z_0} \dot {Z_1}+ \dot {Z_1} \dot {Z_2} + \dot {Z_2} \dot {Z_0}+3R( \dot {Z_1}+ \dot {Z_2} ) } \dot {E_a}\\\\
&≡\frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)}{\Delta} \dot {E_a} ・・・(15)
\end{align}$$
ただし、$ \Delta = \dot {Z_0} \dot {Z_1}+ \dot {Z_1} \dot {Z_2} + \dot {Z_2} \dot {Z_0}+3R( \dot {Z_1}+ \dot {Z_2} ) $
$(12),\ (14),\ (15)$式より、$\dot {V_2}$および $\dot {V_0}$は、
$$\begin{align}
\dot {V_2}&= \dot {V_1}=\frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)}{\Delta} \dot{E_a} &・・・(16)\\\\
\dot {V_0}&=\frac{\dot {Z_0}}{ \dot {Z_0}+3R}\dot{V_1}=\frac{\dot {Z_2} \dot {Z_0} } {\Delta} \dot{E_a} &・・・(17)
\end{align}$$
また、$ \dot {I_0}, \dot {I_1}, \dot {I_2}$は、$(9)’,\ (10)’,\ (11)’$式に$(15)$～$(17)$を代入して、
$$\begin{align}
\dot{I_0}&=-\frac{1}{\dot{Z_0}}\cdot\frac{\dot {Z_2} \dot {Z_0} } {\Delta} \dot{E_a}\\\\
&=-\frac{\dot{Z_2} }{\Delta} \dot{E_a} & ・・・(18)\\\\
\dot{I_1}&=\frac{\dot{E_a}- \dot{V_1}}{\dot{Z_1}}=\frac{1}{\dot{Z_1}}\cdot \frac{\dot {Z_0}\dot {Z_1}+\dot {Z_1}\dot {Z_2}+3R\dot {Z_1}} {\Delta} \dot{E_a} \\\\
&= \frac{\dot {Z_0}+\dot {Z_2}+3R} {\Delta} \dot{E_a} &・・・(19)\\\\
\dot{I_2}&=-\frac{\dot{V_1}}{\dot{Z_2}}=-\frac{1}{\dot{Z_2}}\cdot \frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)} {\Delta} \dot{E_a} \\\\
&=-\frac{\dot {Z_0}+3R} {\Delta} \dot{E_a} &・・・(20)
\end{align}$$
ただし、$ \Delta = \dot {Z_0} \dot {Z_1}+ \dot {Z_1} \dot {Z_2} + \dot {Z_2} \dot {Z_0}+3R( \dot {Z_1}+ \dot {Z_2} )$
二線地絡時の故障電流・相電圧の計算
二線地絡時の故障電流は、$(7)$または$(8)$ および$(18)$～$(20)$より、
$$\begin{align*}
\dot {I_b}&=\dot { { I }_{ 0 } }+a^2\dot{I_1}+a\dot{I_2}\\\\
&=\left\{-\frac{\dot{Z_2} }{\Delta}+a^2 \frac{\dot {Z_0}+\dot {Z_2}+3R} {\Delta}-a \frac{\dot {Z_0}+3R} {\Delta}\right\}\dot{E_a}\\\\
&=\frac{(a^2-a)( \dot {Z_0}+3R)+(a^2-1) \dot {Z_2} } {\Delta} \dot{E_a} ・・・(21)
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\dot {I_c}&=\dot{I_0}+a\dot{I_1}+a^2\dot{I_2}\\\\
&=\left\{-\frac{\dot{Z_2} }{\Delta}+a \frac{\dot {Z_0}+\dot {Z_2}+3R} {\Delta}-a^2\frac{\dot {Z_0}+3R} {\Delta}\right\}\dot{E_a}\\\\
&=\frac{(a-a^2)( \dot {Z_0}+3R)+(a-1) \dot {Z_2} } {\Delta} \dot{E_a} ・・・(22)
\end{align*}$$
また、各相の相電圧は、$(2)$～$(5)$および$(15)$～$(17)$式より、
$$\begin{align*}
\dot {V_a}&=\dot {V_0}+\dot{V_1}+\dot{V_2}\\\\
&=\left\{\frac{\dot {Z_2} \dot {Z_0} } {\Delta}+\frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)}{\Delta}+ \frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)}{\Delta}\right\}\dot{E_a}\\\\
&=\frac{3\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+2R)}{\Delta}\dot{E_a} &・・・(23)\\\\
\dot {V_b}&= \dot {V_c}=\dot {V_0}+a^2\dot{V_1}+\ a\dot{V_2}\\\\
&=\left\{\frac{\dot {Z_2} \dot {Z_0} } {\Delta}+a^2\frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)}{\Delta}+a\frac{\dot {Z_2}( \dot {Z_0}+3R)}{\Delta}\right\}\dot{E_a}\\\\
&=-\frac{3R\dot {Z_2}}{\Delta}\dot{E_a} &・・・(24)
\end{align*}$$
ただし、$\Delta=\dot {Z_0} \dot {Z_1}+ \dot {Z_1} \dot {Z_2} + \dot {Z_2} \dot {Z_0}+3R( \dot {Z_1}+ \dot {Z_2})$
二線地絡故障時の0－1－2回路
$(16)$～$(20)$式から導かれる二線地絡故障時の$0−1−2$成分回路を図2に示す。
同図より、二線地絡故障時は各成分の回路が並列接続される形で表されることがわかる。なお、地絡抵抗$3R$は零相回路に直列接続される形になる。
図2 二線地絡故障時の0−1−2回路 （地絡抵抗あり）
地絡抵抗を考慮しない場合
図3のように、地絡抵抗を考慮しない回路の場合は、これまでの計算において$R=0$とすればよい。
図3 二線地絡故障時回路（地絡抵抗なし）
$0−1−2$電流および地絡電流は、$(18)$～$(22)$式において$R=0$として、
$$\begin{align*}
\dot{I_0}&=-\frac{\dot{Z_2} }{\Delta’} \dot{E_a} & ・・・(25)\\\\
\dot{I_1}&=\frac{\dot {Z_0}+\dot {Z_2}} {\Delta’} \dot{E_a} &・・・(26)\\\\
\dot{I_2}&=-\frac{\dot {Z_0}} {\Delta’} \dot{E_a} &・・・(27)\\\\\\
\dot {I_b}&=\frac{(a^2-a)\dot {Z_0}+(a^2-1) \dot {Z_2} } {\Delta’} \dot{E_a} &・・・(28) \\\\
\dot {I_c}&=\frac{(a-a^2)\dot {Z_0}+(a-1) \dot {Z_2} } {\Delta’} \dot{E_a} &・・・(29)
\end{align*}$$
同様に、各成分の電圧は、$(15)$～$(17)$および$(23)$～$(24)$式において$R=0$として、
$$\begin{align}
\dot {V_0}&=\dot{V_1}=\dot{V_2}=\frac{\dot {Z_2}\dot {Z_0}}{\Delta’}\dot{E_a} &・・・(30)\\\\\\
\dot {V_a}&=\frac{3\dot {Z_2}\dot {Z_0}}{\Delta’}\dot{E_a} &・・・(31)\\\\
\dot {V_b}&=\dot {V_c}=0 &・・・(32)
\end{align}$$
ただし、$\Delta’ = \dot {Z_0} \dot {Z_1}+ \dot {Z_1} \dot {Z_2} + \dot {Z_2} \dot {Z_0}$
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