二線断線時の故障計算（対称座標法）

2019年3月12日
2022年6月7日
故障計算

本記事では、対称座標法を用いた二線断線故障計算について解説する。

1 二線断線故障時の回路
2 二線断線時の故障計算
3 計算結果のまとめ

二線断線故障時の回路

二線断線故障時の回路を図1に示す。

同図では、電源を含む三相電力系統 $A$ および $B$ の間を繋ぐ送電線のうち、 $b$ および $c$ 相が断線している状態である。

同図のうち、断線地点を $D_{A}$ および $D_{B}$ とする。

また、各端子間の電圧を $\dot{V_{a}}, \dot{V_{b}}, \dot{V_{c}}$ , 端子間に流れる電流を $\dot{I_{a}}, \dot{I_{b}}, \dot{I_{c}}$ とする。

図1　二線断線故障時の回路

二線断線時の故障計算

故障時の初期条件

図1の回路より、 $b, c$ 相一線断線時の電圧・電流の初期条件を考える。

$b, c$ 相端子は断線しているため、 $D_{A}$ － $D_{B}$ 端子間は開放状態であることより、

$\dot{I_{b}} = \dot{I_{c}} = 0 ・・・ (1)$

また、健全な $a$ 相は断線していない、すなわち $D_{A}$ － $D_{B}$ 端子間は短絡している状態であるから、

$\dot{V_{a}} = 0 ・・・ (2)$

0－1－2領域への変換式

$D_{A}$ および $D_{B}$ 各端子の $a - b - c$ 領域における電圧・電流について、 $0 - 1 - 2$ 変換を行う。
（変換式の導出は「変換の基本式」を参照）

なお、下記の電圧の式において、左添字 $A$ および $B$ は各系統における電圧を示している。

$\begin{aligned} \dot{V_{a}} = (_{A} \dot{V_{0}} -_{B} \dot{V_{0}}) + (_{A} \dot{V_{1}} -_{B} \dot{V_{1}}) + (_{A} \dot{V_{2}} -_{B} \dot{V_{2}}) & ・・・ (3) \\ \dot{V_{b}} = (_{A} \dot{V_{0}} -_{B} \dot{V_{0}}) + a^{2} (_{A} \dot{V_{1}} -_{B} \dot{V_{1}}) + a (_{A} \dot{V_{2}} -_{B} \dot{V_{2}}) & ・・・ (4) \\ \dot{V_{c}} = (_{A} \dot{V_{0}} -_{B} \dot{V_{0}}) + a (_{A} \dot{V_{1}} -_{B} \dot{V_{1}}) + a^{2} (_{A} \dot{V_{2}} -_{B} \dot{V_{2}}) & ・・・ (5) \\ \dot{I_{a}} = \dot{I_{0}} + \dot{I_{1}} + \dot{I_{2}} & ・・・ (6) \\ \dot{I_{b}} ＝ \dot{I_{0}} + a^{2} \dot{I_{1}} + a \dot{I_{2}} & ・・・ (7) \\ \dot{I_{c}} ＝ \dot{I_{0}} + a \dot{I_{1}} + a^{2} \dot{I_{2}} & ・・・ (8) \end{aligned}$

そして、三相電力系統 $A$ および $B$ の故障前の $a$ 相電源電圧をそれぞれ $_{A} \dot{E_{a}},_{B} \dot{E_{a}}$ , 各系統の零相・正相・逆相インピーダンスをそれぞれ $_{A} \dot{Z_{0}},_{B} \dot{Z_{0}},_{A} \dot{Z_{1}},_{B} \dot{Z_{1}},_{A} \dot{Z_{2}},_{B} \dot{Z_{2}}$ とすると、「発電機の基本式」より、

$\begin{aligned} -_{A} \dot{V_{0}} & =_{A} \dot{Z_{0}} \dot{I_{0}} & ・・・ (9) \\ _{B} \dot{V_{0}} & =_{B} \dot{Z_{0}} \dot{I_{0}} & ・・・ (10) \\ _{A} \dot{E_{a}} -_{A} \dot{V_{1}} & =_{A} \dot{Z_{1}} \dot{I_{1}} & ・・・ (11) \\ - (_{B} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{V_{1}}) & =_{B} \dot{Z_{1}} \dot{I_{1}} & ・・・ (12) \\ -_{A} \dot{V_{2}} & = \dot{Z_{2}}_{A} \dot{I_{2}} & ・・・ (13) \\ _{B} \dot{V_{2}} & =_{B} \dot{Z_{2}} \dot{I_{2}} & ・・・ (14) \end{aligned}$

$(9)$ ～ $(14)$ 式に基づいた $0 - 1 - 2$ 成分回路を図2に示す。同図のうち、端子 $D_{A}, D_{B}$ をはさんで左側の回路が系統 $A$ , 右側の回路が系統 $B$ を示している。

ここで、端子 $D_{A}$ － $D_{B}$ 端子間の $0 - 1 - 2$ 電圧を $\dot{V_{0}}, \dot{V_{1}}, \dot{V_{2}}$ とすると、定義は下記となる。

$\begin{aligned} \dot{V_{0}} & =_{A} \dot{V_{0}} -_{B} \dot{V_{0}} & ・・・ (15) \\ \dot{V_{1}} & =_{A} \dot{V_{1}} -_{B} \dot{V_{1}} & ・・・ (16) \\ \dot{V_{2}} & =_{A} \dot{V_{2}} -_{B} \dot{V_{2}} & ・・・ (17) \end{aligned}$

図2　系統 $A$ および $B$ の $0 - 1 - 2$ 成分回路

0－1－2電圧・電流の計算

$(1)$ および $(7)$ ～ $(8)$ 式より、

$\begin{aligned} \dot{I_{0}} + a^{2} \dot{I_{1}} + a \dot{I_{2}} & = \dot{I_{0}} + a \dot{I_{1}} + a^{2} \dot{I_{2}} = 0 \\ ∴ \dot{I_{0}} & = \dot{I_{1}} = \dot{I_{2}} ・・・ (18) \end{aligned}$

また、 $(2)$ および $(3)$ 式より、 $(15)$ ～ $(17)$ と合わせて、

$\begin{aligned} (_{A} \dot{V_{0}} -_{B} \dot{V_{0}}) + (_{A} \dot{V_{1}} -_{B} \dot{V_{1}}) + (_{A} \dot{V_{2}} -_{B} \dot{V_{2}}) & = 0 \\ ∴ \dot{V_{0}} + \dot{V_{1}} + \dot{V_{2}} & = 0 ・・・ (19) \end{aligned}$

さらに、 $(9)$ ～ $(17)$ 式より、

$\begin{aligned} \dot{V_{0}} \equiv_{A} \dot{V_{0}} -_{B} \dot{V_{0}} & = - (_{A} \dot{Z_{0}} +_{B} \dot{Z_{0}}) \dot{I_{0}} & ・・・ (20) \\ \dot{V_{1}} \equiv_{A} \dot{V_{1}} -_{B} \dot{V_{1}} & = (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}) - (_{A} \dot{Z_{1}} +_{B} \dot{Z_{1}}) \dot{I_{1}} & ・・・ (21) \\ \dot{V_{2}} \equiv_{A} \dot{V_{2}} -_{B} \dot{V_{2}} & = - (_{A} \dot{Z_{2}} +_{B} \dot{Z_{2}}) \dot{I_{2}} & ・・・ (22) \end{aligned}$

$(20)$ ～ $(22)$ 式を $(18)$ 式に代入すると、

$\begin{aligned} - (_{A} \dot{Z_{0}} +_{B} \dot{Z_{0}}) \dot{I_{0}} + (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}) - (_{A} \dot{Z_{1}} +_{B} \dot{Z_{1}}) \dot{I_{1}} - (_{A} \dot{Z_{2}} +_{B} \dot{Z_{2}}) \dot{I_{2}} & = 0 \\ - \dot{Z_{0}} \dot{I_{0}} + \dot{E_{a}} - \dot{Z_{1}} \dot{I_{1}} - \dot{Z_{2}} \dot{I_{2}} & = 0 ・・・ (23) \end{aligned}$

ただし、
$\begin{aligned} \dot{E_{a}} & =_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}} \\ \dot{Z_{0}} & =_{A} \dot{Z_{0}} +_{B} \dot{Z_{0}} \\ \dot{Z_{1}} & =_{A} \dot{Z_{1}} +_{B} \dot{Z_{1}} \\ \dot{Z_{2}} & =_{A} \dot{Z_{2}} +_{B} \dot{Z_{2}} \end{aligned}$

$(18)$ , $(23)$ 式から $\dot{I_{1}}$ を求めると、

$\begin{aligned} \dot{E_{a}} - (\dot{Z_{0}} \dot{I_{0}} + \dot{Z_{1}} \dot{I_{1}} + \dot{Z_{2}} \dot{I_{2}}) = 0 \\ ∴ & \dot{I_{0}} = \dot{I_{1}} = \dot{I_{2}} = \frac{\dot{E_{a}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} ・・・ (24) \end{aligned}$

$(24)$ 式を $(20)$ ～ $(22)$ 式に代入すると、

$\begin{aligned} \dot{V_{0}} & = - \frac{\dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} \dot{E_{a}} & ・・・ (25) \\ \dot{V_{1}} & = \frac{\dot{Z_{2}} + \dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} \dot{E_{a}} & ・・・ (26) \\ \dot{V_{2}} & = - \frac{\dot{Z_{2}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} \dot{E_{a}} & ・・・ (27) \end{aligned}$

二線断線故障時の0－1－2回路

$(24)$ ～ $(27)$ 式に基づき、図2の回路ベースで二線断線故障時の接続を追加したものを図3に示す。

同図より、系統 $A$ および $B$ の各成分の回路が直列接続されている状態であることがわかる。

図3　二線断線故障時の $0 - 1 - 2$ 回路

二線断線時のa-b-c電圧・電流の計算

$(24)$ ～ $(27)$ 式を逆変換し、 $a - b - c$ 領域の電圧・電流を求める。

各成分の電圧について、行列表示にて逆変換の計算を行うと、

$\begin{aligned} (\begin{array}{c} \dot{V_{a}} \\ \dot{V_{b}} \\ \dot{V_{c}} \end{array}) & = a^{- 1} (\begin{array}{c} \dot{V_{0}} \\ \dot{V_{1}} \\ \dot{V_{2}} \end{array}) \\ = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^{2} & a \\ 1 & a & a^{2} \end{array}) \frac{\dot{E_{a}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (\begin{array}{c} - \dot{Z_{2}} \\ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{0}} \\ - \dot{Z_{0}} \end{array}) \\ = \frac{\dot{E_{a}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (\begin{array}{c} 0 \\ (a^{2} - a) \dot{Z_{2}} + (a^{2} - 1) \dot{Z_{0}} \\ (a - a^{2}) \dot{Z_{2}} + (a - 1) \dot{Z_{0}} \end{array}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dot{V_{a}} & = 0 & ・・・ (28) \\ \dot{V_{b}} & = \frac{(a^{2} - a) \dot{Z_{2}} + (a^{2} - 1) \dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} \dot{E_{a}} & ・・・ (29) \\ \dot{V_{c}} & = \frac{(a - a^{2}) \dot{Z_{2}} + (a - 1) \dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} \dot{E_{a}} & ・・・ (30) \end{aligned}$

次に、各成分の電流について、行列表示にて逆変換の計算を行うと、

$\begin{aligned} (\begin{array}{c} \dot{I_{a}} \\ \dot{I_{b}} \\ \dot{I_{c}} \end{array}) & = a^{- 1} (\begin{array}{c} \dot{I_{0}} \\ \dot{I_{1}} \\ \dot{I_{2}} \end{array}) \\ = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^{2} & a \\ 1 & a & a^{2} \end{array}) (\begin{array}{c} \dot{I_{0}} \\ \dot{I_{0}} \\ \dot{I_{0}} \end{array}) \\ = \frac{\dot{E_{a}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \\ ∴ \dot{I_{a}} & = \frac{3 \dot{E_{a}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}}, \dot{I_{b}} = \dot{I_{c}} = 0 ・・・ (31) \end{aligned}$

計算結果のまとめ

二線断線故障時における $0 - 1 - 2$ 成分の電圧・電流は、一部省略せずに記載すると、

$\begin{aligned} \dot{I_{0}} = \dot{I_{1}} = \dot{I_{2}} = \frac{_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} & ・・・ (24) \\ \dot{V_{0}} & = - \frac{\dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}) & ・・・ (25) \\ \dot{V_{1}} & = \frac{\dot{Z_{2}} + \dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}) & ・・・ (26) \\ \dot{V_{2}} & = - \frac{\dot{Z_{2}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}) & ・・・ (27) \end{aligned}$

二線断線故障時における $a - b - c$ 成分の電圧・電流は、一部省略せずに記載すると、

$\begin{aligned} \dot{I_{a}} & = \frac{3 (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}})}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}}, \dot{I_{b}} = \dot{I_{c}} = 0 & ・・・ (28) \\ \dot{V_{a}} & = 0 & ・・・ (29) \\ \dot{V_{b}} & = \frac{(a^{2} - a) \dot{Z_{2}} + (a^{2} - 1) \dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}) & ・・・ (30) \\ \dot{V_{c}} & = \frac{(a - a^{2}) \dot{Z_{2}} + (a - 1) \dot{Z_{0}}}{\dot{Z_{0}} + \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}} (_{A} \dot{E_{a}} -_{B} \dot{E_{a}}) & ・・・ (31) \end{aligned}$

ただし、 $\dot{Z_{0}} =_{A} \dot{Z_{0}} +_{B} \dot{Z_{0}}, \dot{Z_{1}} =_{A} \dot{Z_{1}} +_{B} \dot{Z_{1}}, \dot{Z_{2}} =_{A} \dot{Z_{2}} +_{B} \dot{Z_{2}}$

電力系統における故障計算まとめ

本記事では、三相電力系統における故障計算の各パターンをまとめる。故障計算の回路モデル図1に電源を含む三相電力系統における故障計算時の回路モデルを示す。系統の任意の故障点から故障点端子 $F$ を仮想的に伸ばしたとして[…]

著書・製品のご紹介

電験戦士教本デンケンソルジャーズスペルブック（電験図書館デンケニアアーカイブス）

『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている！

電験戦士教本

【電験アカデミア×電験王】電験戦士教本シリーズのご紹介

※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]

あなたを救う電気数学講座（一般社団法人　建設業教育協会）

この講座との出会いは、数学が苦手なあなたを救う！

一般社団法人　建設業教育協会

あなたを救う電気数学講座 E-ラーニング|一般社団法人建設業教育協会

電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…

（2023年度版）第二種電気主任技術者講座（SAT株式会社）

すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！

SAT二種講座

【2025年度版発売！】「第二種電気主任技術者講座（SAT株式会社）」のご紹介

※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]

電験カフェへようこそ電験三種のギモン・お悩み解決します（オーム社）

初学者が躓きがちなギモンを、電験アカデミアがスッキリ解決します！

電験カフェ

【大好評発売中！】著書「電験カフェへようこそ　電験三種のギモン・お悩み解決します」のご紹介

※本ページはプロモーションが含まれています。当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]

二線断線時の故障計算（対称座標法）

二線断線故障時の回路

二線断線時の故障計算

故障時の初期条件

0－1－2領域への変換式

0－1－2電圧・電流の計算

二線断線故障時の0－1－2回路

二線断線時のa-b-c電圧・電流の計算

計算結果のまとめ

故障計算の関連記事

一線地絡時の故障計算（零相インピーダンス以外を無視できる場合）

異地点同時故障時の計算

電力系統における故障計算まとめ

二線断線故障計算の例題

一線断線故障計算の例題

二線地絡故障計算の例題

二相短絡故障計算の例題

三相短絡故障計算の例題（発電機増設前後の系統）