同軸円筒導体の静電容量まとめ

本記事では、同軸円筒導体をコンデンサとみなした場合の単位長あたりの静電容量を、様々なパターンについてまとめる。

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同軸円筒導体の静電容量(導体間が空洞である場合)

本記事では図1のように、ある径の円筒導体がそれよりも径の大きな中空導体に包まれている「同軸円筒導体」について考える。

この同軸円筒導体は2つ(以上)の導体が向かい合っている形となるため、一種のコンデンサとみなすことができる。

 

図1 同軸円筒導体

 

なお、本記事で解説するいずれのパターンにおいても、特に断りがない限り、次の条件が当てはまるものとする。

  • 各導体の中心軸は一致している。
  • 導体の長さは十分な長く、無限長とみなせるとする。
  • 電位の基準は無限遠にとる。
  • 導体間の空洞部分の誘電率は$\varepsilon_0$(真空の誘電率)とする。

 

導体間の静電容量

図2のように内半径が$a$,外半径が$b$,内部が空洞である同軸円筒導体の単位長あたりの静電容量を考える。

 

図2 同軸円筒導体(内部が空洞である場合)

 

図2において、内側の導体に単位長あたり$\lambda$の電荷を与えたとすると、外側の導体には$-\lambda$の電荷が誘導される。

このとき、導体間にはこの$\pm\lambda$の電荷により、半径方向に電界$E$が発生する。

 

内側導体の中心軸からの距離を$r$として、両導体間にある仮想円筒の側面(面積$2\pi r$)を閉曲面とみなしてガウスの法則を適用すると、電界$E$は、

$$\begin{align*}
E\cdot2\pi r&=\frac{\lambda}{\varepsilon_0}\\\\
\therefore E&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r} ・・・(1)
\end{align*}$$

 

$(1)$式より、導体間の電位差$V$は、

$$\begin{align*}
V&=-\int^{a}_{b}E\mathrm{d}r\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\int^{b}_{a}\frac{\mathrm{d}r}{r}\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left[\ln r\right]^{b}_{a}\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left(\ln b-\ln a\right)\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{a} ・・・(2)
\end{align*}$$

 

したがって、図2の導体間の単位長あたりの静電容量$C$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
C&=\frac{\lambda}{V}\\\\
&=\frac{\lambda}{\displaystyle{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{a}}}\\\\
&=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}} ・・・(3)
\end{align*}$$

 

3同軸円筒導体の静電容量

図3のように、3つの導体からなる「3同軸円筒導体」の単位長あたりの静電容量を考える。

なお、各導体間はすべて空洞であるとする。

 

図3 3同軸円筒導体

 

各導体の半径を内側からそれぞれ$a,\ b,\ c$とすると、半径$a$の内側導体-半径$b$の中間導体、および半径$b$の中間導体-半径$c$の外側導体でそれぞれコンデンサを形成している。

そして、図3全体をみるとこの2つのコンデンサを直列接続したものとみなすことができる。

 

各導体間の単位長あたりの静電容量$C_\mathrm{ab},\ C_\mathrm{bc}$(添字は各導体の半径に対応)は、$(3)$式と同様に考えると、

$$C_\mathrm{ab}=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}},\ C_\mathrm{bc}=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{c}{b}}} ・・・(4)$$

 

したがって、図3の3同軸円筒導体全体の単位長あたりの静電容量$C$は、$(4)$式より、

$$\begin{align*}
C&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{1}{C_\mathrm{ab}}}+\displaystyle{\frac{1}{C_\mathrm{bc}}}}\\\\
&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}}\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}+\displaystyle{\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}}\ln\displaystyle{\frac{c}{b}}}\\\\
&=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}}\\\\
&=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{c}{a}}} ・・・(5)
\end{align*}$$

 

外側と内側の導体を短絡した場合

次に、図3の3同軸円筒導体において、図4のように外側と内側の導体を短絡した場合の単位長あたりの静電容量を考える。

 

図4 3同軸円筒導体(外側と内側の導体を短絡した場合)

 

図4において、同軸円筒導体全体の単位長あたりの静電容量$C’$は、中間導体(半径$b$)からみて内側-中間導体の静電容量$C_\mathrm{ab}$と、中間ー外側導体の静電容量$C_\mathrm{bc}$との並列接続を考えることで求めることができて、$(4)$式より、

$$\begin{align*}
C’&=C_\mathrm{ab}+C_\mathrm{bc}\\\\
&=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}}+\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{c}{b}}}\\\\
&=2\pi\varepsilon_0\left(\frac{1}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}}+\frac{1}{\ln\displaystyle{\frac{c}{b}}}\right) ・・・(6)
\end{align*}$$

 

同軸円筒導体の静電容量(誘電体が充填される場合)

次に、導体間に誘電体が充填されている場合について考える。

単一の誘電体で満たされている場合

同軸円筒導体において、図5のように導体間に誘電率$\varepsilon$の誘電体を充填した場合を考える。

 

図5 単一の誘電体を充填した同軸円筒導体

 

図5の同軸円筒導体の単位長あたりの静電容量$C$は、$(3)$式で$\varepsilon_0\rightarrow\varepsilon$とした場合に等しく、

$$C=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}} ・・・(7)$$

 

2つの誘電体を充填した場合①

同軸円筒導体の内側から外側にかけて、誘電率が$\varepsilon_1,\ \varepsilon_2$の2種類の誘電体を図6のように充填した場合を考える。

このとき、内側の誘電体の外径を$c$とする。

 

図6 2つの誘電体が充填された同軸円筒導体

 

図6の同軸円筒導体は、それぞれ単独の誘電体を充填した2つの円筒状コンデンサを直列接続したものとみなすことができる。

まず、各誘電体の単位長あたりの静電容量$C_1,\ C_2$は、$(7)$式と同様に、

$$C_1=\frac{2\pi\varepsilon_1}{\ln\displaystyle{\frac{c}{a}}},\ C_2=\frac{2\pi\varepsilon_2}{\ln\displaystyle{\frac{b}{c}}} ・・・(8)$$

 

したがって、同軸円筒導体全体の単位長あたりの静電容量$C$は、$(8)$式を用いて、

$$\begin{align*}
C&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{1}{C_1}}+\displaystyle{\frac{1}{C_2}}}\\\\
&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{1}{2\pi\varepsilon_1}}\ln\displaystyle{\frac{c}{a}}+\displaystyle{\frac{1}{2\pi\varepsilon_2}}\ln\displaystyle{\frac{b}{c}}}\\\\
&=\frac{2\pi}{\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon_1}}\ln\displaystyle{\frac{c}{a}}+\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon_2}}\ln\displaystyle{\frac{b}{c}}}\\\\
&=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\displaystyle{\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1}}\ln\displaystyle{\frac{c}{a}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_2}}\ln\displaystyle{\frac{b}{c}}} ・・・(9)
\end{align*}$$

 

別のアプローチとして、導体間の電界および電束密度を用いた方法を考える。

各導体に単位長あたり$\pm\lambda$の電荷を与えたものとすると、図6の導体間の電束密度$D$は、誘電体の種類および位置に依らず一定であり、

$$D=\frac{\lambda}{2\pi r}$$

 

$D=\varepsilon E\rightarrow E=\displaystyle{\frac{D}{\varepsilon}}$の関係より、各誘電体内の電界$E_1,\ E_2$は、

$$\begin{cases}
E_1&=\displaystyle{\frac{D}{\varepsilon_1}}&=\displaystyle{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_1r}}\\\\
E_2&=\displaystyle{\frac{D}{\varepsilon_2}}&=\displaystyle{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_2r}}
\end{cases}$$

 

したがって、導体間の電位差$V$は、

$$\begin{align*}
V&=-\int^{a}_{c}E_1\mathrm{d}r-\int^{c}_{b}E_2\mathrm{d}r\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi}\left(\frac{1}{\varepsilon_1}\int^{c}_{a}\frac{\mathrm{d}r}{r}+\frac{1}{\varepsilon_2}\int^{b}_{c}\frac{\mathrm{d}r}{r}\right)\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi}\left(\frac{1}{\varepsilon_1}\left[\ln r\right]^{c}_{a}+\frac{1}{\varepsilon_2}\left[\ln r\right]^{b}_{c}\right)\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi}\left(\frac{1}{\varepsilon_1}\ln\frac{c}{a}+\frac{1}{\varepsilon_2}\ln\frac{b}{c}\right)
\end{align*}$$

 

以上より、図6の同軸円筒導体の単位長あたりの静電容量$C$は、

$$\begin{align*}
C&=\frac{\lambda}{V}\\\\
&=\frac{2\pi}{\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon_1}}\ln\displaystyle{\frac{c}{a}}+\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon_2}}\ln\displaystyle{\frac{b}{c}}}\\\\
&=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\displaystyle{\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1}}\ln\displaystyle{\frac{c}{a}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_2}}\ln\displaystyle{\frac{b}{c}}}
\end{align*}$$

となり、$(9)$式に一致する。

 

2つの誘電体を充填した場合②

同軸円筒導体に、誘電率が$\varepsilon_1,\ \varepsilon_2$の2種類の誘電体を、図7のように左右半分ずつ充填した場合を考える。

 

図7 2つの誘電体が半分ずつ充填された同軸円筒導体

 

図7の内側導体に単位長あたり$\lambda$の電荷を与えたとすると、その中心軸から距離$r$の位置における各誘電体内の電束密度$D_1,\ D_2$との関係は、ガウスの法則より、

$$\lambda=\frac{2\pi r}{2}\cdot D_1+\frac{2\pi r}{2}\cdot D_2 ・・・(10)$$

 

また、内側導体の中心軸から距離$r$の位置における電界を$E$とすると、$(10)$式の$D_1,\ D_2$との関係は、

$$D_1=\varepsilon_1E,\ D_2=\varepsilon_2E ・・・(11)$$

 

$(11)$式を$(10)$式に代入すると、電界$E$は、

$$\begin{align*}
\lambda&=\frac{2\pi r}{2}\cdot\varepsilon_1E+\frac{2\pi r}{2}\cdot\varepsilon_2E\\\\
&=\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)rE\\\\
\therefore E&=\frac{\lambda}{\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)r} ・・・(12)
\end{align*}$$

 

$(12)$式より、導体間の電位差$V$は、

$$\begin{align*}
V&=-\int^{a}_{b}E\mathrm{d}r\\\\
&=\frac{\lambda}{\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)}\int^{b}_{a}\frac{\mathrm{d}r}{r}\\\\
&=\frac{\lambda}{\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)}\left[\ln r\right]^{b}_{a}\\\\
&=\frac{\lambda}{\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)}\ln\frac{b}{a} ・・・(13)
\end{align*}$$

 

したがって、図7の同軸円筒導体の単位長あたりの静電容量$C$は、$(13)$式より、

$$\begin{align*}
C&=\frac{\lambda}{V}\\\\
&=\frac{\lambda}{\displaystyle{\frac{\lambda}{\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)}\ln\frac{b}{a}}}\\\\
&=\frac{\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)}{\displaystyle{\ln\frac{b}{a}}} ・・・(14)
\end{align*}$$

 

$(14)$式は、次のように考えることでも導くことができる。

図7の同軸円筒導体は、誘電率$\varepsilon_1,\ \varepsilon_2$の誘電体が充填された半円筒状のコンデンサが並列接続されているとも考えることができる。

誘電率$\varepsilon$の誘電体が充填された同軸半円筒のコンデンサの静電容量$C_\mathrm{half}$は、$(7)$式の半分となり、

$$C_\mathrm{half}=\frac{1}{2}C=\frac{\pi\varepsilon}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}}$$

 

上記と同様に考えると、図7の同軸円筒導体の単位長あたりの静電容量$C$は、

$$\begin{align*}
C&=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi\varepsilon_1}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi\varepsilon_2}{\ln\displaystyle{\frac{b}{a}}}\\\\
&=\frac{\pi\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)}{\displaystyle{\ln\frac{b}{a}}}
\end{align*}$$

 

 

誘電率が傾斜的に変化する場合

同軸円筒導体に充填される誘電体が、内側の誘電率が$\varepsilon_1$,外側が$\varepsilon_2$と位置によって傾斜状に変化する場合について考える。

 

図8 誘電体の誘電率が傾斜状に変化する場合の同軸円筒導体

 

誘電体の誘電率の変化は内側から外側にかけて$\varepsilon_1\rightarrow\varepsilon_2$と線形に変化するとして、これを内側導体の中心軸からの距離$r$の関数とみなして$\varepsilon\left(r\right)$とすると、定数$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を用いて、

$$\varepsilon\left(r\right)=\mathrm{A}r+\mathrm{B} ・・・(15)$$

と表せるとする。

 

ただし、

$$\begin{cases}
\mathrm{A}&=\displaystyle{\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{b-a}}\\\\
\mathrm{B}&=\displaystyle{\frac{\varepsilon_1b-\varepsilon_2a}{b-a}}
\end{cases}$$

 

※定数$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$の導出詳細
$(15)$式において、$r=a$で$\varepsilon\left(a\right)=\varepsilon_1$,$r=b$で$\varepsilon\left(b\right)=\varepsilon_2$であるから、

$$\begin{cases}
\varepsilon_1&=\mathrm{A}a+\mathrm{B} ・・・(15.\mathrm{a})\\\\
\varepsilon_2&=\mathrm{A}b+\mathrm{B} ・・・(15.\mathrm{b})
\end{cases}$$

 

$\left(15.\mathrm{b}\right)-\left(15.\mathrm{a}\right)$より、

$$\begin{align*}
\varepsilon_2-\varepsilon_1&=\mathrm{A}\left(b-a\right)\\\\
\therefore\mathrm{A}&=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{b-a}
\end{align*}$$

 

これを$\left(14.\mathrm{a}\right)$に代入すると、

$$\begin{align*}
\varepsilon_1&=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{b-a}\times a+\mathrm{B}\\\\
\therefore\mathrm{B}&=\varepsilon_1-\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{b-a}a\\\\
&=\frac{\varepsilon_1\left(b-a\right)-\left(\varepsilon_2-\varepsilon_1\right)a}{b-a}\\\\
&=\frac{\varepsilon_1b-\varepsilon_2a}{b-a}
\end{align*}$$

 

ここで、図8の内側の導体に単位長あたり$\lambda$の電荷を与えたとき、導体間に発生する電界$E$は、

$$\begin{align*}
E&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\left(r\right)r}\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi}\cdot\frac{1}{\left(\mathrm{A}r+\mathrm{B}\right)r}\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\mathrm{B}}\left(\frac{1}{r}-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{A}r+\mathrm{B}}\right) ・・・(16)
\end{align*}$$

 

したがって、導体間の電位差$V$は、$(16)$式より、

$$\begin{align*}
V&=-\int^{a}_{b}E\mathrm{d}r\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\mathrm{B}}\int^{b}_{a}\left(\frac{1}{r}-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{A}r+\mathrm{B}}\right)\mathrm{d}r\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\mathrm{B}}\left[\ln r-\ln\left(\mathrm{A}r+\mathrm{B}\right)\right]^{b}_{a}\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\mathrm{B}}\left(\ln\frac{b}{a}-\ln\frac{\mathrm{A}b+\mathrm{B}}{\mathrm{A}a+\mathrm{B}}\right)\\\\
&=\frac{\lambda}{2\pi\mathrm{B}}\ln\frac{b\left(\mathrm{A}a+\mathrm{B}\right)}{a\left(\mathrm{A}b+\mathrm{B}\right)}\\\\
&=\frac{\lambda\left(b-a\right)}{2\pi\left(\varepsilon_1b-\varepsilon_2a\right)}\ln\frac{\varepsilon_1b}{\varepsilon_2a} ・・・(17)
\end{align*}$$

 

$(17)$式の5行目→6行目の変形について
$(17)$式の導出において、5行目の対数の真数部分を変形すると、

$$\begin{align*}
\frac{b\left(\mathrm{A}a+\mathrm{B}\right)}{a\left(\mathrm{A}b+\mathrm{B}\right)}&=\frac{\mathrm{A}ab+\mathrm{B}b}{\mathrm{A}ab+\mathrm{B}a}\\\\
&=\frac{1+\displaystyle{\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}\cdot\frac{1}{a}}}{1+\displaystyle{\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}\cdot\frac{1}{b}}}
\end{align*}$$

 

ここで、

$$\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}=\frac{\varepsilon_1b-\varepsilon_2a}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}$$

であるから、結局、

$$\begin{align*}
\frac{1+\displaystyle{\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}\cdot\frac{1}{a}}}{1+\displaystyle{\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}\cdot\frac{1}{b}}}&=\frac{1+\displaystyle{\frac{\varepsilon_1b-\varepsilon_2a}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}\cdot\frac{1}{a}}}{1+\displaystyle{\frac{\varepsilon_1b-\varepsilon_2a}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}\cdot\frac{1}{b}}}\\\\
&=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1+\varepsilon_1\cdot\displaystyle{\frac{b}{a}}-\varepsilon_2}{\varepsilon_2-\varepsilon_1+\varepsilon_1-\varepsilon_2\cdot\displaystyle{\frac{a}{b}}}\\\\
&=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\cdot\frac{\displaystyle{\frac{b-a}{a}}}{\displaystyle{\frac{b-a}{b}}}\\\\
&=\frac{\varepsilon_1b}{\varepsilon_2a}
\end{align*}$$

 

 

以上より、同軸円筒導体全体の単位長あたりの静電容量$C$は、$(17)$式より、

$$\begin{align*}
C&=\frac{\lambda}{V}\\\\
&=\frac{\lambda}{\displaystyle{\frac{\lambda\left(b-a\right)}{2\pi\left(\varepsilon_1b-\varepsilon_2a\right)}\ln\frac{\varepsilon_1b}{\varepsilon_2a}}}\\\\
&=\frac{2\pi\left(\varepsilon_1b-\varepsilon_2a\right)}{\left(b-a\right)\ln\displaystyle{\frac{\varepsilon_1b}{\varepsilon_2a}}} ・・・(18)
\end{align*}$$

 

図8のような誘電率が連続的に変化する材料は「傾斜機能材料」として知られている[参考]

$(16)$式の導出時にも用いた電界$E$の式は

$$E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\left(r\right)r}$$

 

このとき、例えば$\varepsilon\left(r\right)=\displaystyle{\frac{k}{r}}$($k$は定数)となるような誘電体であると、電界$E$は、

$$E=\frac{\lambda}{2\pi\cdot\displaystyle{\frac{k}{r}}\cdot r}=\frac{\lambda}{2\pi k}$$

となり、誘電体内部で電界$E$は一定となる。

 

特に内部が高電圧となる機器(GISなど)の場合、局所的に電界が高くなることがないようスペーサの形状を検討しなければならない。

一方で上記のような誘電率が位置によって変化する材料を用いると、シンプルな形状で電界分布を均一にすることができるメリットがある。

 

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