平行平板コンデンサの静電容量まとめ

本記事では、平行平板コンデンサの静電容量を、様々なパターンについてまとめる。





平行平板コンデンサの静電容量(導体間が空気の場合)

本記事では図1のように、2つの極板(導体板)が向かい合っている「平行平板コンデンサ」について考える。

 

図1 平行平板コンデンサ

 

なお、本記事で解説するいずれのパターンにおいても、特に断りがない限り、次の条件が当てはまるものとする。

  • 各極板は長方形であり、その面積を$S$とする。
  • 極板は空気中に存在し、その誘電率は$\varepsilon_0$(真空の誘電率)とする。
  • コンデンサの端効果は無視する。

 

極板間の静電容量

図2のように、2つの極板間距離が$d$である平行平板コンデンサの静電容量を考える。

同図では、極板間には誘電体はないものとする。

 

図2 極板間距離が$d$である平行平板コンデンサ

 

次に、図2のコンデンサにおいて、図3のように各極板に$\pm Q$の電荷を与えたものとする。

 

図3 平行平板コンデンサに電荷を与えた場合

 

このとき、極板間にはこの$\pm Q$の電荷により、極板に対して垂直方向の電界$E$が発生する。

電荷$Q$を与えた面積$S$の極板全体を閉曲面とみなし、ガウスの法則を適用すると、電界$E$の式は、

$$\begin{align*}
E\cdot S&=\frac{Q}{\varepsilon_0}\\\\
\therefore E&=\frac{Q}{\varepsilon_0S} ・・・(1)
\end{align*}$$

 

そして、図3のように上部の極板$\left(x=0\right)$からの距離を$x$としたとき、極板間の電位差$V$は、$(1)$式も用いて、

$$\begin{align*}
V&=-\int^{0}_{d}E\ \mathrm{d}x\\\\
&=\frac{Q}{\varepsilon_0S}\int^{d}_{0}\mathrm{d}x\\\\
&=\frac{Q}{\varepsilon_0S}\left[x\right]^{d}_{0}\\\\
&=\frac{Qd}{\varepsilon_0S} ・・・(2)
\end{align*}$$

 

したがって、図2のコンデンサの極板間の静電容量$C$は、$(2)$式を変形して、

$$C=\frac{Q}{V}=\frac{\varepsilon_0S}{d} ・・・(3)$$

 

ある厚みの導体を挿入した場合

図4のように、平行平板コンデンサ内に厚さ$t$の導体板を挿入した場合の、極板間の静電容量を求める。

 

図4 厚さ$t$の導体板を挿入した平行平板コンデンサ

 

上下の極板と挿入した導体板との距離をそれぞれ$d_1,\ d_2$とすると、図4のコンデンサは導体板で仕切られた距離$d_1,\ d_2$の2つのコンデンサを直列接続したものとみなすことができる。

これらの静電容量$C_1,\ C_2$は、$(3)$式と同様に考えると、

$$C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d_1},\ C_2=\frac{\varepsilon_0S}{d_2} ・・・(4)$$

 

したがって、平行平板コンデンサ全体の静電容量$C$は、$(4)$式より、

$$\begin{align*}
C&=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{\varepsilon_0S}{d_1}}\cdot\displaystyle{\frac{\varepsilon_0S}{d_2}}}{\displaystyle{\frac{\varepsilon_0S}{d_1}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon_0S}{d_2}}}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{\varepsilon_0S}{d_1d_2}}}{\displaystyle{\frac{1}{d_1}}+\displaystyle{\frac{1}{d_2}}}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{d_1+d_2}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{d-t}\quad\left(\because d_1+t+d_2=d\right) ・・・(5)
\end{align*}$$

 

平行平板コンデンサの静電容量(誘電体が充填される場合)

次に、コンデンサの極板間に誘電体が充填されている場合について考える。

単一の誘電体で満たされている場合

平行平板コンデンサの極板間に、図5のように誘電率$\varepsilon$の誘電体板を挿入した場合を考える。

 

図5 単一の誘電体板を挿入した平行平板コンデンサ

 

図5の平行平板コンデンサの静電容量$C$は、$(3)$式で$\varepsilon_0\rightarrow\varepsilon$とした場合に等しく、

$$C=\frac{\varepsilon S}{d} ・・・(6)$$

 

2つの誘電体を充填した場合①

平行平板コンデンサの極板間に、厚さが$d_1,\ d_2$,誘電率が$\varepsilon_1,\ \varepsilon_2$の2種類の誘電体板を図6のように充填した場合を考える。

 

図6 2つの誘電体板を充填した平行平板コンデンサ

 

図6のコンデンサは、それぞれ単独の誘電体板を挟んだ2つのコンデンサを直列接続したものとみなすことができる。

各誘電体板の静電容量$C_1,\ C_2$は、

$$C_1=\frac{\varepsilon_1S}{d_1},\ C_2=\frac{\varepsilon_2S}{d_2} ・・・(7)$$

 

したがって、平行平板コンデンサ全体の静電容量$C$は、$(7)$式を用いて、

$$\begin{align*}
C&=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{\varepsilon_1S}{d_1}}\cdot\displaystyle{\frac{\varepsilon_2S}{d_2}}}{\displaystyle{\frac{\varepsilon_1S}{d_1}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon_2S}{d_2}}}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{d_1d_2}}}{\displaystyle{\frac{\varepsilon_1}{d_1}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon_2}{d_2}}}S\\\\
&=\frac{S}{\displaystyle{\frac{d_1}{\varepsilon_1}}+\displaystyle{\frac{d_2}{\varepsilon_2}}} ・・・(8)
\end{align*}$$

 

別のアプローチとして、極板間の電界および電束密度を用いた方法を考える。

各極板に$\pm Q$の電荷を与えたものとすると、図6のコンデンサ中の電束密度$D$は、誘電体の種類および位置に依らず一定であり、

$$D=\frac{Q}{S}$$

 

$D=\varepsilon E\rightarrow E=\displaystyle{\frac{D}{\varepsilon}}$の関係より、各誘電体板内の電界$E_1,\ E_2$は、

$$\begin{cases}
E_1&=\displaystyle{\frac{D}{\varepsilon_1}}&=\displaystyle{\frac{Q}{\varepsilon_1S}}\\\\
E_2&=\displaystyle{\frac{D}{\varepsilon_2}}&=\displaystyle{\frac{Q}{\varepsilon_2S}}
\end{cases}$$

 

したがって、極板間の電位差$V$は、

$$\begin{align*}
V&=E_1d_1+E_2d_2\\\\
&=\frac{Qd_1}{\varepsilon_1S}+\frac{Qd_2}{\varepsilon_2S}\\\\
&=\frac{Q}{S}\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\right)
\end{align*}$$

 

以上より、平行平板コンデンサ全体の静電容量$C$は、

$$\begin{align*}
C&=\frac{Q}{V}\\\\
&=\frac{S}{\displaystyle{\frac{d_1}{\varepsilon_1}}+\displaystyle{\frac{d_2}{\varepsilon_2}}}
\end{align*}$$

となり、$(8)$式に一致する。

 

ある厚みの誘電体を充填した場合

図7のように、厚さ$t$の誘電体板を極板間の中央部に挿入した平行平板コンデンサを考える。

 

図7 厚さ$t$の誘電体板を挿入した平行平板コンデンサ

 

図7のコンデンサは、距離$d_1,\ t,\ d_2$でそれぞれ誘電率の異なるコンデンサを直列接続したものとみなすことができる。

各部分の静電容量$C_1,\ C_\mathrm{t},\ C_2$は、

$$C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d_1},\ C_\mathrm{t}=\frac{\varepsilon S}{t},\ C_2=\frac{\varepsilon_0S}{d_2} ・・・(9)$$

 

したがって、平行平板コンデンサ全体の静電容量$C$は、$(9)$式を用いて、

$$\begin{align*}
C&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{1}{C_1}}+\displaystyle{\frac{1}{C_\mathrm{t}}}+\displaystyle{\frac{1}{C_2}}}\\\\
&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{d_1}{\varepsilon_0S}}+\displaystyle{\frac{t}{\varepsilon S}}+\displaystyle{\frac{d_2}{\varepsilon_0S}}}\\\\
&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{d_1+d_2}{\varepsilon_0S}}+\displaystyle{\frac{t}{\varepsilon S}}}\\\\
&=\frac{S}{\displaystyle{\frac{d-t}{\varepsilon_0}}+\displaystyle{\frac{t}{\varepsilon}}}\quad\left(\because d_1+t+d_2=d\right) ・・・(10)
\end{align*}$$

 

2つの誘電体を充填した場合②

平行平板コンデンサの極板間に、図8のように厚さが$d$,誘電率が$\varepsilon_1,\ \varepsilon_2$の2つの誘電体をそれぞれ面積$S_1,\ S_2$で横から順番に充填した場合を考える。

 

図8 2つの誘電体を横から順に並べた平行平板コンデンサ

 

図8のコンデンサは、それぞれ単独の誘電体で構成される面積$S_1,\ S_2$の2つのコンデンサを並列接続したものとみなすことができる。

各誘電体部分の静電容量$C_1,\ C_2$は、

$$C_1=\frac{\varepsilon_1S_1}{d},\ C_2=\frac{\varepsilon_2S_2}{d} ・・・(11)$$

 

したがって、平行平板コンデンサ全体の静電容量$C$は、$(11)$式を用いて、

$$\begin{align*}
C&=C_1+C_2\\\\
&=\frac{\varepsilon_1S_1}{d}+\frac{\varepsilon_1S_2}{d}\\\\
&=\frac{\varepsilon_1S_1+\varepsilon_2S_2}{d} ・・・(12)
\end{align*}$$

 

こちらも別のアプローチとして、極板間の電界および電束密度を用いた方法を考える。

各極板に$\pm Q$の電荷を与え、極板間の電位差を$V$としたとき、極板間の電界$E$は、誘電体の種類および位置に依らず一定であり、

$$E=\frac{V}{d}$$

 

それぞれの誘電体部分における電束密度$D_1,\ D_2$は、$D=\varepsilon E$の関係より、

$$\begin{cases}
D_1&=\varepsilon_1E&=\displaystyle{\frac{\varepsilon_1}{d}}V\\\\
D_2&=\varepsilon_2E&=\displaystyle{\frac{\varepsilon_2}{d}}V
\end{cases}$$

 

したがってガウスの法則より、電荷$Q$は、

$$\begin{align*}
Q&=D_1S_1+D_2S_2\\\\
&=\frac{\varepsilon_1S_1}{d}V+\frac{\varepsilon_2S_2}{d}V\\\\
&=\frac{\varepsilon_1S_1+\varepsilon_2S_2}{d}V
\end{align*}$$

 

以上より、平行平板コンデンサ全体の静電容量$C$は、

$$\begin{align*}
C&=\frac{Q}{V}\\\\
&=\frac{\varepsilon_1S_1+\varepsilon_2S_2}{d}
\end{align*}$$

となり、$(12)$式に一致する。

 

ある面積の誘電体を充填した場合

平行平板コンデンサの極板間に、図9のように厚さが$d$,誘電率が$\varepsilon$の誘電体を面積$S_\mathrm{t}$で中央に配置した場合を考える。

 

図8 面積$S_\mathrm{t}$の誘電体を中央に配置した平行平板コンデンサ

 

図9のコンデンサは、面積が$S_1,\ S_\mathrm{t},\ S_2$でそれぞれ誘電率の異なるコンデンサを並列接続したものとみなすことができる。

各部分の静電容量$C_1,\ C_\mathrm{t},\ C_2$は、

$$C_1=\frac{\varepsilon_0S_1}{d},\ C_\mathrm{t}=\frac{\varepsilon S_\mathrm{t}}{d},\ C_2=\frac{\varepsilon_0S_2}{d} ・・・(13)$$

 

したがって、平行平板コンデンサ全体の静電容量$C$は、$(13)$式より、

$$\begin{align*}
C&=C_1+C_\mathrm{t}+C_2\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S_1}{d}+\frac{\varepsilon S_\mathrm{t}}{d}+\frac{\varepsilon_0S_2}{d}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0\left(S_1+S_2\right)+\varepsilon S_\mathrm{t}}{d}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0\left(S-S_\mathrm{t}\right)+\varepsilon S_\mathrm{t}}{d}\quad\left(\because S_1+S_\mathrm{t}+S_2=S\right) ・・・(14)
\end{align*}$$

 

 

極板が傾いている場合の静電容量

一方の極板が図10のように傾いており、一方の端の距離が$d$,他端の距離が$d+\delta$となっている平板コンデンサについて考える。

 

図10 極板が傾いている平板コンデンサ

 

図10のコンデンサの極板間の静電容量を求めるために、極板の2辺の長さを$x_0,\ z_0\left(S=x_0z_0\right)$とし、図11のような$x-y$座標系に当てはめる。

 

図11 平板コンデンサの$x-y$座標系への当てはめ

 

図11において、コンデンサの左端($x=0$)から距離$x$の位置における極板間距離$y$は、$x=0$で$y=d$,$x=x_0$で$y=d+\delta$となることから、

$$y=d+\frac{\delta}{x_0}x ・・・(15)$$

 

ここで、図11の幅$\mathrm{d}x$の色付き部分の静電容量を$\mathrm{d}C$とすると、この部分の極板面積は$z_0\mathrm{d}x$となることから、$(3),\ (15)$式より、

$$\begin{align*}
\mathrm{d}C&=\frac{\varepsilon_0z_0\mathrm{d}x}{y}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0z_0}{\displaystyle{d+\frac{\delta}{x_0}x}}\mathrm{d}x\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{\displaystyle{\delta x+dx_0}}\mathrm{d}x ・・・(16)
\end{align*}$$

 

このような微小部分の静電容量$\mathrm{d}C$を$x$軸方向に並列接続することで、コンデンサ全体の静電容量を計算することができる。

したがって、コンデンサ全体の静電容量$C$は、$(16)$式および分数関数の積分の公式$\displaystyle{\int\frac{1}{ax+b}}\mathrm{d}x=\displaystyle{\frac{1}{a}}\ln{\left|ax+b\right|}+\mathrm{C}$($a,\ b\neq0,\ \mathrm{C}$は積分定数)[参考]を用いて、

$$\begin{align*}
C&=\int\mathrm{d}C\\\\
&=\int^{x_0}_{0}\frac{\varepsilon_0S}{\displaystyle{\delta x+dx_0}}\mathrm{d}x\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{\delta}\left[\ln\left(\delta x+dx_0\right)\right]^{x_0}_{0}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{\delta}\left\{\ln\left(\delta+d\right)x_0-\ln dx_0\right\}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{\delta}\ln\frac{\left(\delta+d\right)x_0}{dx_0}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{\delta}\ln\frac{\delta+d}{d} ・・・(17)
\end{align*}$$

 

ここで、図11で$\delta\ll d$のとき、対数関数のテイラー展開の公式$\ln\left(1+x\right)=x-\displaystyle{\frac{x^2}{2}}+\displaystyle{\frac{x^3}{3}}-\cdots$(ただし$\left|x\right|\ll 1$)[参考]を用いて、$(17)$を変形すると、

$$\begin{align*}
C&=\frac{\varepsilon_0S}{\delta}\ln\frac{\delta+d}{d}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{\delta}\ln\left(1+\frac{\delta}{d}\right)\\\\
&\fallingdotseq \frac{\varepsilon_0S}{\delta}\left\{\frac{\delta}{d}-\frac{1}{2}\left(\frac{\delta}{d}\right)^2\right\}\\\\
&=\frac{\varepsilon_0S}{d}\left(1-\frac{\delta}{2d}\right) ・・・(18)
\end{align*}$$

 

$(18)$式より、傾きのない場合の静電容量を$C_0=\displaystyle{\frac{\varepsilon_0S}{d}}$とすると、図10のコンデンサの静電容量は$\displaystyle{\frac{\delta}{2d}}C_0$だけ小さくなることがわかる。

 

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参考文献

  • 後藤憲一、山崎修一郎『詳解電磁気学演習』共立出版,1970
  • 大久保ほか『電気磁気学』昭晃堂,1993