一線地絡時の故障計算(零相インピーダンス以外を無視できる場合)

本記事では、零相インピーダンス以外が無視できる系統に発生する一線地絡故障に関する計算方法について、対称座標法を用いて解説する。





送電線の静電容量の対称座標法変換

送電線の充電電流と電圧の関係式

図1のような三相の送電線において、各相の対地静電容量$C_\mathrm{s}$,および線間静電容量$C_\mathrm{m}$が存在しているとする。

同図では簡単のため、よくねん架されている送電線を想定し、$C_\mathrm{s}$および$C_\mathrm{m}$は各相で等しいとする。

 

図1 送電線の静電容量

 

図1の各送電線の電位を$\dot{V}_\mathrm{a},\ \dot{V}_\mathrm{b},\ \dot{V}_\mathrm{c}$,充電電流を$\dot{I}_\mathrm{a},\ \dot{I}_\mathrm{b},\ \dot{I}_\mathrm{c}$,角周波数を$\omega$とすると、各相の電流と電圧の関係式は次のようになる。

$$\begin{cases}
\dot{I}_\mathrm{a}=j\omega C_\mathrm{s}\dot{V}_\mathrm{a}+j\omega C_\mathrm{m}\left(\dot{V}_\mathrm{a}-\dot{V}_\mathrm{b}\right)+j\omega C_\mathrm{m}\left(\dot{V}_\mathrm{a}-\dot{V}_\mathrm{c}\right)\\\\
\dot{I}_\mathrm{b}=j\omega C_\mathrm{s}\dot{V}_\mathrm{b}+j\omega C_\mathrm{m}\left(\dot{V}_\mathrm{b}-\dot{V}_\mathrm{a}\right)+j\omega C_\mathrm{m}\left(\dot{V}_\mathrm{b}-\dot{V}_\mathrm{c}\right)\\\\
\dot{I}_\mathrm{c}=j\omega C_\mathrm{s}\dot{V}_\mathrm{c}+j\omega C_\mathrm{m}\left(\dot{V}_\mathrm{c}-\dot{V}_\mathrm{a}\right)+j\omega C_\mathrm{m}\left(\dot{V}_\mathrm{c}-\dot{V}_\mathrm{b}\right)
\end{cases} ・・・(1)$$

 

$(1)$式を変形すると、

$$\begin{cases}
\dot{I}_\mathrm{a}=j\omega\left(C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m}\right)\dot{V}_\mathrm{a}-j\omega C_\mathrm{m}\dot{V}_\mathrm{b}-j\omega C_\mathrm{m}\dot{V}_\mathrm{c}\\\\
\dot{I}_\mathrm{b}=-j\omega C_\mathrm{m}\dot{V}_\mathrm{a}+j\omega\left(C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m}\right)\dot{V}_\mathrm{b}-j\omega C_\mathrm{m}\dot{V}_\mathrm{c}\\\\
\dot{I}_\mathrm{c}=-j\omega C_\mathrm{m}\dot{V}_\mathrm{a}-j\omega C_\mathrm{m}\dot{V}_\mathrm{b}+j\omega\left(C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m}\right)\dot{V}_\mathrm{c}
\end{cases} ・・・(2)$$

 

$(2)$式を行列で表記すると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{I}_\mathrm{a} \\ \dot{I}_\mathrm{b} \\ \dot{I}_\mathrm{c} \end{array} \right)=j\omega\left(\begin{array}{ccc} C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{a} \\ \dot{V}_\mathrm{b} \\ \dot{V}_\mathrm{c} \end{array} \right) ・・・(2)’$$

 

対称座標法変換後の静電容量

次に、$(2)’$式を対称座標法変換するため、両辺の左から変換行列$\boldsymbol{a}=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right)$を掛けて、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \dot{I}_\mathrm{0} \\ \dot{I}_\mathrm{1} \\ \dot{I}_\mathrm{2} \end{array} \right)&=\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{I}_\mathrm{a} \\ \dot{I}_\mathrm{b} \\ \dot{I}_\mathrm{c} \end{array} \right)\\\\
&=\boldsymbol{a}\cdot j\omega\left(\begin{array}{ccc} C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{a} \\ \dot{V}_\mathrm{b} \\ \dot{V}_\mathrm{c} \end{array} \right)\\\\
&=\boldsymbol{a}\cdot j\omega\left(\begin{array}{ccc} C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} \end{array} \right)\cdot\boldsymbol{a^{-1}}\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{0} \\ \dot{V}_\mathrm{1} \\ \dot{V}_\mathrm{2} \end{array} \right)\\\\
&=j\omega\cdot\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{ccc} C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} \\ -C_\mathrm{m} & -C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+2C_\mathrm{m} \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{0} \\ \dot{V}_\mathrm{1} \\ \dot{V}_\mathrm{2} \end{array} \right)\\\\
&=j\omega\cdot\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{ccc} C_\mathrm{s} & C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m} & C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m} \\ C_\mathrm{s} & a^2\left(C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m}\right) & a\left(C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m}\right) \\ C_\mathrm{s} & a\left(C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m}\right) & a^2\left(C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m}\right) \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{0} \\ \dot{V}_\mathrm{1} \\ \dot{V}_\mathrm{2} \end{array} \right)\\\\
&=j\omega\cdot\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 3C_\mathrm{s} & 0 & 0 \\ 0 & 3\left(C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m}\right) & 0 \\ 0 & 0 & 3\left(C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m}\right) \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{0} \\ \dot{V}_\mathrm{1} \\ \dot{V}_\mathrm{2} \end{array} \right)\\\\
&=j\omega\left(\begin{array}{ccc} C_\mathrm{s} & 0 & 0 \\ 0 & C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m} & 0 \\ 0 & 0 & C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m} \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{0} \\ \dot{V}_\mathrm{1} \\ \dot{V}_\mathrm{2} \end{array} \right)\\\\
&\equiv  j\omega\left(\begin{array}{ccc} C_\mathrm{0} & 0 & 0 \\ 0 & C_\mathrm{1} & 0 \\ 0 & 0 & C_\mathrm{2} \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_\mathrm{0} \\ \dot{V}_\mathrm{1} \\ \dot{V}_\mathrm{2} \end{array} \right) ・・・(3)
\end{align*}$$

 

$(3)$式より、対称座標法変換後の$0-1-2$領域における静電容量は、次のようになる。

$$\begin{cases}
C_0=C_\mathrm{s}\\\\
C_1=C_2=C_\mathrm{s}+3C_\mathrm{m}
\end{cases} ・・・(4)$$

 

$(3)$式から分かるように、送電線の対称座標法変換後の零相・正相・逆相回路においては、各回路個別の静電容量$C_0,\ C_1,\ C_2$のみを考えればよい(=対称座標法変換をすれば、線間静電容量は考慮不要になる)ことがわかる。

 

特に、$(4)$式の$C_1$は作用静電容量として扱われる。

これは、図1の3つの$C_\mathrm{m}$で構成される回路を$\Delta\rightarrow\mathrm{Y}$変換した図2の回路において、大地に対する送電線1線あたりの静電容量とみることができる。

 

図2 送電線の静電容量($\Delta\rightarrow\mathrm{Y}$変換後)

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一線地絡故障時の計算(零相インピーダンス以外が無視できる系統)

一線地絡故障が発生した系統

図3の系統の$\mathrm{a}$相に故障抵抗$R_\mathrm{g}$を介して一線地絡故障が発生した場合を考える。

同図は配電系統のような送電線のこう長が短く、電源および送電線のインピーダンスは無視できるほど小さいものとする。

また、中性点接地抵抗を$R_\mathrm{n}$,各送電線の対地静電容量は$C_\mathrm{s}$とし、線間静電容量$C_\mathrm{m}$は考慮しないこととする。

 

図3 系統における一線地絡故障

 

$(4)$式より、図3の系統の$0-1-2$領域における静電容量は、次のようになる。

$$C_0=C_1=C_2=C_\mathrm{s} ・・・(5)$$

 

また、電源および送電線のインピーダンスは無視できるほど小さいことから、これらの$0-1-2$領域におけるインピーダンスをまとめて$jX_0,\ jX_1,\ jX_2$とすると、

$$jX_0=jX_1=jX_2=0 ・・・(6)$$

 

系統の対称分回路

$(5),\ (6)$式に基づき、図3の系統について対称座標法変換を適用した場合の、対称分回路($0-1-2$回路)を図4に示す。

 

図4 図3の系統の対称分回路($0-1-2$回路)

 

図4のうち零相回路では、$(6)$式より$jX_0=0$となるため、中性点に接続されるインピーダンスである$3R_\mathrm{n}$と、静電容量$C_0=C_\mathrm{s}$による容量性インピーダンス$\displaystyle{\frac{1}{j\omega C_\mathrm{s}}}$の並列回路となる。

 

中性点インピーダンスが$3R_\mathrm{n}$になる理由は、下記の記事を参照。
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したがって、回路の零相インピーダンス$\dot{Z}_0$は、

$$\begin{align*}
\dot{Z}_0&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{1}{3R_\mathrm{n}}}+j\omega C_\mathrm{0}}\\\\
&=\frac{3R_\mathrm{n}}{1+j3\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{n}} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

また、正相および逆相回路においては、静電容量$C_1=C_2=C_\mathrm{s}$による容量性インピーダンス$\displaystyle{\frac{1}{j\omega C_\mathrm{s}}}$が存在するものの、$(6)$式より$jX_1=0,\ jX_2=0$となり、この部分は短絡しているとみなして回路全体のインピーダンスとしてはゼロとなる。

$$\begin{align*}
\dot{Z}_1&=0\\\\
\dot{Z}_2&=0
\end{align*} ・・・(8)$$

 

一線地絡故障時の回路

一線地絡故障時は、零相・正相・逆相回路は直列接続される形で表され、故障抵抗は$3R_\mathrm{g}$となる。

$(7),\ (8)$式より、故障抵抗$3R_\mathrm{g}$を介した一線地絡故障時の対称分回路は図5のようになる。

 

図5 一線地絡故障時の対称分回路($0-1-2$回路)

 

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図3の系統において、故障発生前の$\mathrm{a}$相電圧を$E_\mathrm{a}$とすると、回路に流れる零相電流$\dot{I}_0$は、$(5)$式および「一線地絡時の故障計算(対称座標法)」の$(16)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{I}_0&=\frac{E_\mathrm{a}}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3R_\mathrm{g}}\\\\
&=\frac{E_\mathrm{a}}{\dot{Z}_0+3R_\mathrm{g}}\\\\
&=\frac{E_\mathrm{a}}{\displaystyle{\frac{3R_\mathrm{n}}{1+j3\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{n}}}+3R_\mathrm{g}}\\\\
&=\frac{1+j3\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{n}}{3R_\mathrm{n}+3R_\mathrm{g}\left(1+j3\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{n}\right)}E_\mathrm{a}\\\\
&=\frac{1+j3\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{n}}{3R_\mathrm{n}+3R_\mathrm{g}+j9\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{g}R_\mathrm{n}}E_\mathrm{a} ・・・(9)
\end{align*}$$

 

以上より、故障電流$I_\mathrm{a}$は、$(6)$式および「一線地絡時の故障計算(対称座標法)」の$(17)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{I}_\mathrm{a}&=3\dot{I}_0\\\\
&=\frac{1+j3\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{n}}{R_\mathrm{n}+R_\mathrm{g}+j3\omega C_\mathrm{0}R_\mathrm{g}R_\mathrm{n}}E_\mathrm{a} ・・・(10)
\end{align*}$$

 

$(7)$式は鳳・テブナンの定理を用いた(対称座標法を用いない)方法でも導くことができる。

 

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参考文献