本記事では、対称座標法を用いた計算において重要な式である「発電機の基本式」を導入する。
発電機の内部等価回路
「発電機の基本式」を導入するにあたり、まずは適用する回路について考える。
図1は、発電機を「三相平衡した理想電圧源」で表した内部等価回路を示している。
図1 発電機の内部等価回路
図1に示す各電気量および定数の詳細は下記となる。
- $\dot{E}_a,\ \dot{E}_b,\ \dot{E}_c$：発電機の内部誘導起電力、$\dot{E}_b=a^2\dot{E}_a,\ \dot{E}_c=a\dot{E}_a$の関係がある。
- $\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$：発電機の端子電圧（発電機以降の外部回路に印加される電圧）
- $\dot{V}_n$：中性点発生電圧
- $\dot{I}_a,\ \dot{I}_b,\ \dot{I}_c$：発電機端子間に流れる電流
- $\dot{Z}_n$：中性点接地インピーダンス
ここで、図1では省略しているが、発電機内には「内部誘導起電力端子」と「外部端子」との間に、各相のインピーダンスが存在する。
これを回路内に表示したのが図2である。
図2 発電機の内部等価回路（各相のインピーダンス表示）
図2における定数の詳細は下記となる。
- $\dot{Z}_s$：各相の自己インピーダンス
- $\dot{Z}_m$：各相間の相互インピーダンス
なお、図2では各相のインピーダンスも三相平衡しているとみなし、$a-b-c$相で$\dot{Z}_s$および$\dot{Z}_m$はすべて等しいとする。
電圧・電流の式の対称座標法変換
図1および図2の回路において、電圧・電流の関係式は下記となる。
\dot{E}_a-\dot{V}_a&=\dot{Z}_s\dot{I}_a+\dot{Z}_m\dot{I}_b+\dot{Z}_m\dot{I}_c-\dot{V}_n\\\\
\dot{E}_b-\dot{V}_b&=\dot{Z}_m\dot{I}_a+\dot{Z}_s\dot{I}_b+\dot{Z}_m\dot{I}_c-\dot{V}_n\\\\
\dot{E}_c-\dot{V}_c&=\dot{Z}_m\dot{I}_a+\dot{Z}_m\dot{I}_b+\dot{Z}_s\dot{I}_c-\dot{V}_n
\end{cases} ・・・(1.1)$$
行列表示にすると、
$$\left(\begin{array}{c} \dot{E}_a \\ \dot{E}_b \\ \dot{E}_c \end{array} \right)-\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c\end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_s& \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m& \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m& \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c\end{array} \right)-\left(\begin{array}{c} \dot{V}_n \\ \dot{V}_n \\ \dot{V}_n\end{array} \right) ・・・(1.2)$$
$(1.2)$式を対称座標法変換（$a-b-c\rightarrow 0-1-2$変換）する場合は、「対称座標法変換の基本式」で定義した変換行列$\displaystyle{\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)}$を$(1.2)$式の左から掛けて、
$$\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{E}_a \\ \dot{E}_b \\ \dot{E}_c \end{array} \right)-\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c\end{array} \right)= \boldsymbol{a}\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m& \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m& \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c\end{array} \right)- \boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{V}_n \\ \dot{V}_n \\ \dot{V}_n\end{array} \right) ・・・(1.3)$$
$(1.3)$式の計算を次項で行う。
「零相成分」および「正相成分と逆相成分」の記事にて、任意の三相電気量の各相成分（$a-b-c$領域における電気量）を、零相・正相・逆相の各成分（$0-1-2$領域における電気量）へ変換するための考察を行った。本記事では、実際の計算で[…]
変換式の計算
変換式の左辺の計算
$(1.3)$式の左辺第1項は、$\dot{E}_b=a^2\dot{E}_a,\ \dot{E}_c=a\dot{E}_a$であることに注意して、
$$\begin{align*}
\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{E}_a \\ \dot{E}_b \\ \dot{E}_c \end{array} \right)= \frac {1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} \dot{E}_a \\ a^2\dot{E}_a \\ a\dot{E}_a\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \dot{E}_a \\ 0\end{array} \right)
\end{align*}$$
また、$(1.3)$式の左辺第2項は、
$$\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array}\right)$$
変換式の右辺の計算
発電機の端子間に流れる各相電流$\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right)$について、逆変換行列 $\boldsymbol{a^{-1}}=\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right)$と$0-1-2$領域における電流$\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right)$を用いて表すと、
$$\left( \begin{array}{c} \dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right) = \boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right)$$
となることより、$(1.3)$式の右辺第1項は、
$$\begin{align*}
&\ \ \quad\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m& \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m& \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array}\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & \dot{Z}_s+2 \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_s-\dot{Z}_m & a\left(\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\right) & a^2\left(\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\right) \\ \dot{Z}_s-\dot{Z}_m & a^2\left(\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\right) & a\left(\dot{Z_s}-\dot{Z_m}\right) \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right) \\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z}_s-\dot{Z}_m & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z}_s-\dot{Z}_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2\end{array} \right)
\end{align*}$$
一方、大地を通って発電機の中性点に流入する電流は、図1より$\dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c$となるので、これと$\dot{I}_0$の定義式
$$\dot{I}_0=\frac{1}{3}\left(\dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c\right)$$
から、中性点発生電圧$\dot{V}_n$は、符号（$\dot{E}_a$と向きが等しい）に注意して、
$$\dot{V}_n=-\dot{Z}_n\left(\dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c\right)=-3\dot{Z}_n\dot{I}_0$$
以上より、$(1.3)$式の右辺第2項は、
発電機の基本式
零相・正相・逆相インピーダンス
以上の検討より、$(1.3)$式を書き換えると、
$$\left(\begin{array}{c} 0 \\ \dot{E}_a \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2\end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z}_s-\dot{Z}_m & 0 \\ 0 & 0 & \dot{Z}_s-\dot{Z}_m \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3\dot{Z}_n\dot{I}_0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$$
上式で、$\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & 0 & 0 \\ 0 & \dot{Z}_s-\dot{Z}_m & 0 \\ 0 & 0 & \dot{Z}_s-\dot{Z}_m \end{array}\right)\equiv\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_0 & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z}_1 & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z}_2 \end{array}\right)$と置き換えると、
$$\left(\begin{array}{c} 0 \\ \dot{E}_a \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_0 & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z}_1 & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z}_2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3\dot{Z}_n\dot{I}_0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ・・・(2)$$
$(2)$式において、$\dot{Z}_0,\ \dot{Z}_1,\ \dot{Z}_2$は、それぞれ発電機の零相・正相・逆相インピーダンスの定義である。
$$\begin{cases}
\dot{Z}_0=\dot{Z}_s+2\dot{Z}_m\\\\
\dot{Z}_1=\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\\\\
\dot{Z}_2=\dot{Z}_s-\dot{Z}_m
\end{cases}$$
厳密には、発電機の正相インピーダンス$\dot{Z}_1$は時間とともに変化するので、特に過渡安定度の解析等、数サイクル内の応答を考える場合は$\dot{Z}_1\neq \dot{Z}_2$としなければならない。
しかし、系統の商用周波数領域における故障計算等、数msオーダーの時間領域においては、本記事で計算した式としてよい場合が多い。
発電機の基本式の導出
$(2)$式において、零相・正相・逆相成分の式をそれぞれ記載すると、
-\dot{V}_0&=\left(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_n\right)\dot{I}_0 &・・・(2\mathrm{a})\\\\
\dot{E}_a-\dot{V}_1&=\dot{Z}_1\dot{I}_1 &・・・(2\mathrm{b})\\\\
-\dot{V}_2&=\dot{Z}_2\dot{I}_2 &・・・(2\mathrm{c})
\end{cases}$$
$(2\mathrm{a})$〜$(2\mathrm{c})$が、対称座標法における発電機の基本式である。
0ー1ー2領域における等価回路（対称分回路）
$(2\mathrm{a})$〜$(2\mathrm{c})$式に基づき、$0-1-2$領域における各成分ごとの等価回路（対称分回路）を示すと、図3のようになる。
図3 対称分回路（上から零相、正相、逆相回路）
図3より、発電機の内部誘導起電力$\dot{E}_a$は正相回路にしか存在しないため、内部誘導起電力だけ考慮するならば、発電機は純粋な正相電圧源であるといえる。
また、中性点接地インピーダンス$3\dot{Z}_n$は零相回路に接続されるのみであるから、中性点に発生する電圧は純粋な零相電圧であり、中性点に流れる電流は純粋な零相電流であるといえる。
対称座標法による変換法の利点
本記事では、順を追って発電機の基本式である$(2\mathrm{a})$〜$(2\mathrm{c})$式を導出した。
しかし、そもそも元の$a-b-c$領域における電圧・電流の式を考える場合、図2のように各相の自己および相互インピーダンスを考慮しなければならず、非常に複雑な等価回路になる。当然、それらを用いた計算も複雑化する。
一方、対称座標法により$0-1-2$領域における電気量に変換された図3の等価回路は、各成分の回路が独立している。
すなわち「各成分間の相互インピーダンスが存在せず、回路計算上その成分自身のインピーダンスしか考慮しなくてよい」ということを意味している。
（このことは、$(2)$式のインピーダンス行列が対角行列となっていることからも分かる）
こうして、各成分の電圧・電流を個別に計算し、最後に$a-b-c$領域への逆変換を行うことにより、より簡素な回路および計算で各相電圧・電流を求めることができる。
これが対称座標法による変換法を使用する最大の利点である。
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参考文献
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
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電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
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