本記事では、平行な円筒導体間の静電容量および導体の作用静電容量の式を導出する。
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円筒導体の電界および電位分布
導体表面の電荷による電界
図1のように、半径$r[\mathrm{m}]$の円筒状の導体に単位長あたり電荷$+Q[\mathrm{C/m}]$が与えられた場合を考える。
図1 電荷$+Q$が与えられた円筒導体
電荷$Q$は導体表面に一様に分布しており、導体中心から$x[\mathrm{m}]$（ただし、$x>r$）の距離における電束密度$D[\mathrm{C/m^2}]$は、$1\mathrm{m}$あたりの円筒導体の表面積$S[\mathrm{m^2}]$が$S=2\pi x$で求められることより、
$$D=\frac{Q}{S}=\frac{Q}{2\pi x} ・・・(1)$$
したがって、真空の誘電率を$\varepsilon_0$、かつ空気の比誘電率を$1$とすると、導体中心から$x$の距離の電界の強さ$E[\mathrm{V/m}]$は、$(1)$式より、
$$E=\frac{D}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0x} ・・・(2)$$
任意の点間の電位差
図2のように、導体中心から任意の2点までの距離を$x_1,\ x_2$として、この点間の電位差を求める。
図2 円筒導体の断面図と任意の2点
図2に示すように、円筒導体の周りの等電位線は同心円状に広がっているため、導体中心からの距離$x_1,\ x_2$である任意の2点間の電位差は、同一方向の電位の差分で計算できる。
無限遠を電位の基準にとると、任意の2点間の電位差$V[\mathrm{V}]$は、$(2)$式より、
$$\begin{align*}
V&=-\int^{x_2}_{\infty}Edx-\left(-\int^{x_1}_{\infty}Edx\right)\\\\
&=\int^{x_1}_{x_2}Edx\\\\
&=\int^{x_1}_{x_2}\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0x}dx\\\\
&=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\left[\ln x\right]^{x_1}_{x_2}\\\\
&=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{x_1}{x_2} ・・・(3)
\end{align*}$$
平行に設置された円筒導体
導体間の電位差
図3に示すように、平行に設置された円筒導体1および2（半径$r[\mathrm{m}]$）があり、導体1の表面に正の電荷$+Q$，導体2の表面に負の電荷$-Q$が一様に分布しているとする。
図3 平行導体の断面図
各導体の中心からの距離が$D_1[\mathrm{m}]$および$D_2[\mathrm{m}]$（ただし、$D_1,\ D_2\gg r$）である任意の点$y$と、各導体の表面間の電位差$V_{1y}[\mathrm{V}],\ V_{2y}[\mathrm{V}]$は、$(3)$式より、
$$\begin{cases}
V_{1y}=\displaystyle{\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{r}{D_1}} &・・・(4)\\\\
V_{2y}=\displaystyle{-\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{r}{D_2}} &・・・(5)
\end{cases}$$
電位の基準を無限遠としたときの$y$点の電位$V_{12}[\mathrm{V}]$は、$(4),\ (5)$式より、
$$\begin{align*}
V_{12}&=V_{1y}+V_{2y}\\\\
&=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{r}{D_1}-\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{r}{D_2}\\\\
&=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{D_2}{D_1} ・・・(6)
\end{align*}$$
次に、導体の中心間の距離を$D[\mathrm{m}]$（ただし、$D\gg r$）とすると、導体1の表面の電位$V_1[\mathrm{V}]$は、$y$点が導体表面にある場合であるとして、$(6)$式で$D_1=r,\ D_2\fallingdotseq D$とすればよく、
$$V_1=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{D}{r} ・・・(7)$$
同様に、導体2の表面の電位$V_2[\mathrm{V}]$は、$(6)$式で$D_1\fallingdotseq D,\ D_2=r$として、
$$\begin{align*}
V_2&=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{r}{D}\\\\
&=-\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{D}{r} ・・・(8)
\end{align*}$$
したがって、導体間の電位差$V_{12}$は、$(7),\ (8)$式より、
$$\begin{align*}
V_{12}&=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{D}{r}-\left(-\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{D}{r}\right)\\\\
&=\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{D^2}{r^2}\\\\
&=\frac{Q}{\pi \varepsilon_0}\ln\frac{D}{r} ・・・(9)
\end{align*}$$
導体間の静電容量
ここで、一般に2つの導体に$Q,\ -Q$の電荷を与えたときに、両導体間の電圧が$V$であれば、両導体間の静電容量$C$は、
$$C=\frac{Q}{V}$$
と表すことができるため、平行導体間の静電容量$C_{12}$は、$(9)$式より、
$$C_{12}=\frac{Q}{V_{12}}=\frac{\pi \varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{D}{r}}} ・・・(10)$$
さらに、$\varepsilon_0=\displaystyle{\frac{1}{4\pi\times9\times10^{9}}}$および$\log_{10}e=0.43429$を用いると、$(10)$式は、
$$\begin{align*}
C_{12}&=\frac{\pi\times\displaystyle{\frac{1}{4\pi\times9\times10^{9}}}}{\displaystyle{\frac{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}{\log_{10}e}}}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{0.43429}{18}}}{2\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}\times10^{-9}[\mathrm{F/m}]\\\\
&=\frac{0.02413}{2\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}[\mathrm{\mu F/km}] ・・・(11)
\end{align*}$$
$(11)$式が平行導体間の静電容量の式となる。
円筒導体の静電容量
導体の作用静電容量
ここで、2つの導体による電位がゼロになる点は、$(6)$式より、$D_1=D_2$となる点、すなわち2つの導体間の中点を通る線（以下、中性線）である。
このとき、ゼロ基準からの導体の電位は$(7)$式で与えられることから、円筒導体の中性線に対する静電容量（作用静電容量）$C_1$は、
$$\begin{align*}
C_1=\frac{Q}{V_1}=\frac{2\pi \varepsilon_0}{\ln\displaystyle{\frac{D}{r}}} ・・・(12)
\end{align*}$$
さらに、$\varepsilon_0=\displaystyle{\frac{1}{4\pi\times9\times10^{9}}}$および$\log_{10}e=0.43429$を用いると、$(12)$式は、
$$\begin{align*}
C_{1}&=\frac{2\pi\times\displaystyle{\frac{1}{4\pi\times9\times10^{9}}}}{\displaystyle{\frac{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}{\log_{10}e}}}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{0.43429}{18}}}{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}\times10^{-9}[\mathrm{F/m}]\\\\
&=\frac{0.02413}{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}[\mathrm{\mu F/km}] ・・・(13)
\end{align*}$$
$(13)$式が円筒導体の中性線に対する静電容量（作用静電容量）の一般式である。
導体の対地静電容量
図4左のように、電荷$Q$が与えられた円筒導体が大地に対向している場合、導体から出る電気力線は大地に垂直に流入する。
これは同図右のように、大地を中性線（電位ゼロの線）として、大地に対して対称位置に電荷$-Q$を与えた仮想導体を置いた場合に等しくなる。
この手法を電気影像法といい、仮想的に置く電荷を影像電荷という。
図4 円筒導体の電気力線
したがって、円筒導体の対地静電容量$C_g$は、前項の中性線に対する場合と同様にして求めることができて、$(13)$式より、
$$\begin{align*}
C_{g}=\frac{0.02413}{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r}}}[\mathrm{\mu F/km}] ・・・(14)
\end{align*}$$
$(14)$式が円筒導体の対地静電容量の一般式である。
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参考文献
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
- 新田目倖造『電力系統技術計算の基礎』電気書院，1981
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