パーク変換法の導入 ~d-q-0成分への変換~

発電機は回転機であるゆえ、電圧・電流・磁束といった局所的な物理量は時間変化し、静止的な三相電気量を扱う$a-b-c$座標系ではその現象を把握しにくい。このため、本記事ではパーク変換法という座標変換法により、系統の他の機器と同様に発電機を静止的座標系における回路として扱う方法を導入する。

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発電機の基本構造

図1に三相同期発電機(二極機)の基本構造を示す。発電機は界磁(回転子)と電機子(固定子)から成り、電機子巻線は$\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}$ずつずらして配置されている。$a$相巻線に対する磁極の回転角を$\theta=\omega t$とすると、界磁の磁極と電機子の相対位置は$\omega t$の関数となる。

図1 同期発電機の基本構造

$a$相巻線の中心軸を$a$軸とすると、$b,\ c$相も同様として、界磁が回転することにより磁束の分布が時間変化するため、電圧・電流・磁束といった電気量も時間$t$で変化することになる。

ここで、新たな座標軸として、界磁の磁極中心を原点として、磁極方向に$d$軸
(直軸;Direct axis)を、磁極の$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$進んだ方向に$q$軸(横軸;Quadrature axis) を導入することにする(これらの座標軸は図1に表現されている)。

次項では三相電気量、例として電機子巻線の端子電圧$V_a(t),\ V_b(t),\ V_c(t)$について、$d-q$成分にさらに零相成分を加えた$d-q-0$座標系への変換を考える。

d-q-0座標変換

d, q軸への投影

図1で示した各相巻線を基準に決定される$a,\ b, c$軸と、発電機の界磁の磁極方向で決定される$d,\ q$軸について、ある時間$t$における各軸の位置関係を図2に示す。同図では$a,\ b, c$各軸と$d$軸との角度差を$\theta_a=\omega t,\ \theta_b=\omega t+\displaystyle{\frac{4}{3}}\pi=\omega t-\displaystyle{\frac{2}{3}} ,\ \theta_c=\omega t+\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$としている。

図2 $a-b-c$軸と$d-q$軸の位置関係

ここで、時間$t$における巻線の端子電圧の瞬時値$e_a(t),\ e_b(t),\ e_c(t)$を$d$および$q$軸成分への投影分でそれぞれ分けて、足し合わせたものを$e_d(t),\ e_q(t)$とすると、

$$\begin{align*}
e_d(t)&=C\left\{e_a(t)\cos\omega t+e_b(t)\cos\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right)+e_c(t)\cos\left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right)\right\}\\\\
e_q(t)&=C\left\{-e_a(t)\sin\omega t-e_b(t)\sin\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right)-e_c(t)\sin\left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right)\right\}
\end{align*}$$

ここで、$C$は定数である。

d-q-0成分への分解

また、$a-b-c$相電圧の成分中に、零相成分$e_0(t)$が存在しうるとすると、その定義より、

$$e_0(t)=\frac{1}{3}\left\{e_a(t)+e_b(t)+e_c(t)\right\}$$

この零相成分$e_0(t)$を構成するために、最初の$a-b-c$相電圧からそれぞれ$\displaystyle{\frac{1}{3}}$だけ除いた量、すなわち各電圧の$\displaystyle{\frac{2}{3}}$が$d$および$q$軸成分を構成するのに必要であると考える。

$C=\displaystyle{\frac{2}{3}}$とすれば、$e_d(t)$および$e_q(t)$の式は、

$$\begin{align*}
e_d(t)&=\frac{2}{3}\left\{e_a(t)\cos\omega t+e_b(t)\cos\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right)+e_c(t)\cos\left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right)\right\}\\\\
e_q(t)&=\frac{2}{3}\left\{-e_a(t)\sin\omega t-e_b(t)\sin\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right)-e_c(t)\sin\left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right)\right\}
\end{align*}$$

零相成分$e_0(t)$と合わせて行列表示にすると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} e_{d}(t)\\ e_{q}(t) \\ e_0(t) \end{array}\right)&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\theta_b & \cos\theta_c \\ -\sin\theta_a & -\sin\theta_b & -\sin\theta_c \\ \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} e_{a}(t)\\ e_{b}(t) \\ e_{c}(t) \end{array}\right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{D}(t)\left(\begin{array}{c} e_{a}(t)\\ e_{b}(t) \\ e_{c}(t) \end{array}\right)
\end{align*}$$

ただし、$\theta_a=\omega t,\ \theta_b=\omega t-\displaystyle{\frac{2}{3}} ,\ \theta_c=\omega t+\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$

以上より、時間$t$を含んだ変換行列$\boldsymbol{D}(t)$にて$a-b-c$相巻線端子電圧を$d-q-0$成分に変換することができる。

なお、巻線に流れる電流$i_a(t),\ i_b(t),\ i_c(t)$についても同じ変換行列$\boldsymbol{D}(t)$を用いて$d-q-0$成分$i_d(t),\ i_q(t),\ i_0(t)$に変換することができる。

変換行列の定義

変換行列$\boldsymbol{D}(t)$

変換行列を再掲すると、

$$\begin{align*}
\boldsymbol{D}(t)&\equiv\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\theta_b & \cos\theta_c \\ -\sin\theta_a & -\sin\theta_b & -\sin\theta_c \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array} \right)\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\theta_b& \cos\theta_c \\ \cos\left(\theta_a+\frac{\pi}{2}\right) &\cos\left(\theta_b+\frac{\pi}{2}\right) & \cos\left(\theta_c+\frac{\pi}{2}\right)\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array} \right)
\end{align*}$$

これがパーク変換法における変換行列$\boldsymbol{D}(t)$の定義である。

逆変換行列$\boldsymbol{D^{-1}}(t)$

なお、$d-q-0$→$a-b-c$電気量への逆変換行列について、前項の変換式から$e_d(t),\ e_q(t),\ e_0(t)$について求めると、

$$\begin{cases}
e_a(t)=e_d(t)\cos\omega t-e_q(t)\sin\omega t+e_0(t)\\\\
e_b(t)=e_d(t)\cos \left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) -e_q(t)\sin\left(\omega t-\frac{2}{3}\pi\right) +e_0(t)\\\\
e_c(t)=e_d(t)\cos \left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right) -e_q(t)\sin \left(\omega t+\frac{2}{3}\pi\right) +e_0(t)
\end{cases}$$

行列表示にすると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} e_{a}(t)\\ e_{b}(t) \\ e_{c}(t) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & -\sin\theta_a & 1 \\ \cos\theta_b &-\sin\theta_b & 1 \\ \cos\theta_c & -\sin\theta_c & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} e_{d}(t) \\e_{q}(t)\\ e_{0}(t) \end{array}\right)\equiv\boldsymbol{D^{-1}}(t)\left(\begin{array}{c} e_{d}(t)\\e_{q}(t)\\ e_{0}(t) \end{array}\right)
\end{align*}$$

ただし、$\theta_a=\omega t,\ \theta_b=\omega t-\displaystyle{\frac{2}{3}},\ \theta_c=\omega t+\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$

逆変換行列$\boldsymbol{D^{-1}}(t)$だけ再掲すると、

$$\begin{align*}
\boldsymbol{D^{-1}}(t)\equiv\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & -\sin\theta_a & 1 \\ \cos\theta_b & -\sin\theta_b & 1 \\ \cos\theta_c &-\sin\theta_c & 1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\left(\theta_a+\frac{\pi}{2}\right) & 1 \\\cos\theta_b & \cos\left(\theta_b+\frac{\pi}{2}\right) & 1 \\ \cos\theta_c & \cos \left(\theta_c+\frac{\pi}{2}\right) & 1 \end{array} \right)
\end{align*}$$

なお、変換行列$\boldsymbol{D}(t)$と$\boldsymbol{D^{-1}}(t)$は互いに逆行列の関係にある。


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