二相短絡時の故障計算(対称座標法)

対称座標法を用いた二相短絡故障(相間短絡故障)の計算について解説する。

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二相短絡故障時の回路

図1に二相短絡故障発生時の回路を示す。

同図では、 $F$点$b-c$相端子間が短絡された状態になっている。

図1 二相短絡故障時回路

二相短絡時の故障計算

故障時の初期条件

図1の回路より、$b-c$相短絡時の電圧・電流の初期条件を考える。

$F$点$b−c$相端子は短絡状態であるため、電圧は等しく、電流は互いに逆方向になる。また、$a$相端子は開放状態である。以上より、

$$\begin{align*}
&\dot{V_b}=\dot{V_c} &・・・(1)\\
&\dot{I_a}=0,\ \dot{I_b}=-\dot{I_c} &・・・(2)
\end{align*}$$

となる。

0-1-2領域への変換式

$F$点各端子の$a−b−c$領域における電圧・電流について、$0−1−2$変換を行うと、
(変換式の導出は「変換の基本式」を参照)

$$\begin{align*}
&\dot {V_a}=\dot { { V }_{ 0 } }+\dot{V_1}+\dot{V_2}& ・・・(3)\\
&\dot { { V }_{ b } }=\dot { { V }_{ 0 } }+a^2\dot{V_1}+\ a\dot{V_2}&  ・・・(4)\\
&\dot { { V }_{ c } }=\dot { { V }_{ 0 } } +\ a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2} & ・・・(5) \\\\
&\dot {I_a}=\dot { { I }_{ 0 } }+\dot{I_1}+\dot{I_2}& ・・・(6)\\
&\dot { {I }_{ b } }=\dot { { I }_{ 0 } }+a^2\dot{I_1}+a\dot{I_2}& ・・・(7)\\
&\dot { { I }_{ c } }=\dot { { I }_{ 0 } } +a\dot{I_1}+a^2\dot{I_2}& ・・・(8)
\end{align*}$$

そして、三相電力系統の故障前の$a$相電源電圧を$\dot{E_a},\ $系統の零相・正相・逆相インピーダンスをそれぞれ$\dot {{Z}_{ 0 }},\ \dot {{Z }_{ 1 }},\ \dot {{Z}_{ 2 }}$とすると、「発電機の基本式」より、

$$\begin{align}
-\dot{V_0}&=\dot{Z_0}\dot{I_0}& &・・・(9)\\
\dot{E_a}-\dot{V_1}&=\dot{Z_1}\dot{I_1}& &・・・(10)\\
-\dot{V_2}&=\dot{Z_2}\dot{I_2}& &・・・(11)
\end{align}$$

0-1-2電圧・電流の計算

$(1)$および$(4)$, $(5)$より、

$$\begin{align*}
\dot { { V }_{ 0 } }+a^2\dot{V_1}+\ a\dot{V_2}&=\dot { { V }_{ 0 } } +\ a\dot{V_1}+a^2\dot{V_2}\\\\
(a^2-a)\dot{V_1}&=(a^2-a)\dot{V_2}\\\\
\therefore\dot{V_1}&=\dot{V_2} ・・・(12)
\end{align*}$$

また、$(2)$および$(7)$~$(8)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{I_0}+a^2\dot{I_1}+a\dot{I_2}&=-(\dot {I_0} +a\dot{I_1}+a^2\dot{I_2})\\\\
2\dot{I_0}+(a^2+a)\dot{I_1}&=-(a^2+a)\dot{I_2}\\\\
\therefore2\dot{I_0}-\dot{I_1}&=\dot{I_2} ・・・(13)
\end{align*}$$

$(13)$式を$\dot { { I }_{ a } }=0$に代入すると、$(6)$と合わせて、

$$\begin{align*}
\dot{I_0}+\dot{I_1}+\dot{I_2}&=0\\\\
3\dot{I_0}&=0\\\\
\therefore\dot{I_0}&=0 ・・・(14)
\end{align*}$$

さらに、$(13)$式に$(14)$式を代入して、

$$\dot{I_1}=-\dot{I_2} ・・・(15)$$

次に、$(9)$式に$(14)$式を代入して、

$$\dot {V_0}=0 ・・・(16)$$

また、$(10),\ (11),\ (13)$式から、

$$\begin{align}
\dot{E_a}+\dot{Z_2}\dot{I_2}&=\dot{Z_1}\dot{I_1}\\\\
\therefore\dot{I_1}=-\dot{I_2}&=\frac{\dot{E_a}}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}} &・・・(17)\\\\
\therefore\dot{V_1}= \dot{V_2}&=\frac{\dot{Z_2} \dot{E_a}}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}} &・・・(18)
\end{align}$$

故障発生時の短絡電流・相電圧

故障発生時の短絡電流は、$(2),\ (6),\ (7),\ (14)\ ,(17)$式より、

$$\begin{align}
\dot{I_a}=\dot{I_0}+&\dot{I_1}+\dot{I_2}=0 &・・・(19)\\\\
\dot{I_b}=-\dot{I_c}&=\dot{I_0}+a^2\dot{I_1}+a\dot{I_2}\\\\
&=(a^2-a)\dot{I_1}\\\\
&= \frac{ (a^2-a)}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}} \dot{E_a} &・・・(20)
\end{align}$$

また、各相電圧は、$(1),\ (3)$~$(5),\ (16),\ (18)$式より、

$$\begin{align*}
\dot {V_a}&=2\dot{V_1}= \frac{2\dot{Z_2}}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\dot{E_a} &・・・(21)\\\\
\dot { { V }_{ b } }&=\dot { { V }_{ c } }=-\dot{V_1}=-\frac{\dot{Z_2}}{\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\dot{E_a} &・・・(22)\\\\
\end{align*}$$

0-1-2成分回路

$(14)$~$(18)$式から導かれる二相短絡故障時の$0-1-2$成分回路を図2に示す。

同図より、二相短絡故障時は正相および逆相回路が並列に接続され、零相回路は電気的に接続されない状態で表されることがわかる。

すなわち、短絡電流の零相成分はゼロで、正相成分と逆相成分の値は等しく、向きが逆である。
また、相電圧の零相成分はゼロで、正相成分と逆相成分は等しい

図2 二相短絡故障時の$0-1-2$回路


その他の故障計算はこちら↓

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