対称座標法とクラーク変換法の相互変換

対称座標法により$a-b-c$電気量を$0-1-2$領域に、クラーク変換法により$a-b-c$電気量を$\alpha-\beta-0$領域に変換することが可能となる。

では、$0-1-2$領域と$\alpha-\beta-0$領域の相互関係はどうなるのか、またその計算のための変換行列について、本記事にて考えてみる。

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$a-b-c$領域からの変換行列(再掲)

まず、$a-b-c$領域を各領域に変換する行列について確認する。
本記事で扱う電気量はすべて電圧であるが、電流についても同様である。

0-1―2領域⇔$a-b-c$領域


変換行列の導出はこちら↓

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$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) = \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) ・・・(1)$

$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { a }^{ 2 } & a \\ 1 & a & { a }^{ 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) ・・・(2) $

すなわち、$\displaystyle{\boldsymbol{a}= \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)},\quad\boldsymbol{a^{-1}} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)$

α-β―0領域⇔$a-b-c$領域


変換行列の導出はこちら↓

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$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) =\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{\alpha}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) ・・・(3)$

$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} &\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} &-\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(4)$

すなわち、$\boldsymbol{\alpha}=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)},\quad\boldsymbol{\alpha^{-1}}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} &\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} &-\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)$

0-1―2領域⇔α-β-0領域の変換

ここからが本題で、$0-1-2$領域と$\alpha-\beta-0$領域の相互関係を導く。

図1に今回相互関係を考える各領域の電気量のベクトルを示す。これらは対称座標法およびクラーク変換法の基本式を考える際に使用したものと同一であるので、そちらの記事も参照願いたい。

図1 $0-1-2$電気量と$\alpha-\beta-0$電気量

0-1-2領域⇒$\alpha-\beta-0$領域

$(3)$式の右辺に$(2)$式を代入して、$\dot { { V }_{ a } },\dot { { V }_{ b } },\dot { { V }_{ c } }$を消去すると、

$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)\\\qquad\quad≡\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) ・・・(5) $

ここで、$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}$を計算すると、

$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\\\qquad\ =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$

したがって、$(5)$式は、

$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } }\\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) ・・・(6) $

$(6)$式を各成分ごとの式に分解すると、

$\dot { { V }_{ \alpha } }=\dot { { V }_{ 1 }}+\dot {{ V }_{ 2 }}  \ \ ・・・(6a)\\ \dot { { V }_{ \beta } }=-j\dot{ { V }_{ 1 }}+j\dot{ { V }_{ 2 }} ・・・(6b) \\\dot { { V }_{ 0 } }=\dot { { V }_{ 0 } }     ・・・(6c)$

 

また、$(6a)$~$(6c)$式をベクトル図で表したものを図2に示す。

$(6a)$~$(6c)$式および図2は、「クラーク変換法の導入」の$(1)$および$(2)$式における$\alpha$および$\beta$成分の定義とに同一となっていることがわかる。

図2 $0-1-2$電気量⇒$\alpha-\beta-0$電気量への変換

$\alpha-\beta-0$領域⇒0-1-2領域

$(1)$式の右辺に$(4)$式を代入して、$\dot { { V }_{ a } },\dot { { V }_{ b } },\dot { { V }_{ c } }$を消去すると、

$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) =\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)\\\qquad\quad≡\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(7) $

ここで、$\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}$を計算すると、

$\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)\\\qquad\ =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac { 1 }{ 2 } & j\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 2 } & -j\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)$

したがって、$(7)$式は、

$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) ≡\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac { 1 }{ 2 } & j\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 2 } & -j\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } }\\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(8) $

 

$(8)$式を各成分ごとの式にすると、

$\dot { { V }_{ 0 } }=\dot { { V }_{ 0 } }     \ \ ・・・(8a)\\ \displaystyle{\dot { { V }_{ 1 } }=\frac { 1 }{ 2 }\dot { { V }_{ \alpha }}+j\frac { 1 }{ 2 }\dot {{ V }_{ \beta }}} ・・・(8b)\\ \displaystyle{\dot { { V }_{ 2 } }=\frac { 1 }{ 2 }\dot{ { V }_{ \alpha }}-j\frac { 1 }{ 2 }\dot{ { V }_{ \beta }}} ・・・(8c) $

 

また、$(8a)$~$(8c)$式をベクトル図で表したものを図3に示す。

$(8a)$~$(8c)$式および図3より、零相成分は当然そのまま、正相および逆相成分は$\alpha$成分に$\beta$成分を±90°回転させたものの和(の1/2)になるという関係になっている。

図3 $\alpha-\beta-0$電気量⇒$0-1-2$電気量への変換

0-1―2領域⇔α-β-0領域の変換行列

前項により、0-1―2領域⇔$\alpha-\beta-0$領域の関係性を表す式を導いた。最後に、互いの領域に変換するための変換行列をまとめておく。

0-1-2領域⇒$\alpha-\beta-0$領域に変換するための変換行列は、$(6)$式より、

$$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

また、$\alpha-\beta-0$領域⇒0-1-2領域に変換するための変換行列は、$(8)$式より、

$$\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac { 1 }{ 2 } & j\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 2 } & -j\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)$$

なお、これらの行列は互いに逆行列の関係になっている($(6)$および$(8)$式からも明らかである)。

 


変数変換まとめはこちら↓

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