送電線の対称座標法変換

本記事では電力系統全体に対称座標法計算を適用するための準備として、1回線および2回線の送電線に対称座標法変換を適用し、どのような計算式が導かれるか考察する。

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1回線送電線の0-1-2変換

1回線送電線の等価回路

図1に1回線送電線の等価回路を示す。

図1 1回線送電線の等価回路

図1において、各端子-大地間の電圧の添字sは送電端(入力側)、rは受電端(出力側)を示している。

また、三相の送電線はよくねん架されていると考え、各相の自己インピーダンスは$\dot{Z_s}$, 各相間の相互インピーダンスは$\dot{Z_m}$ですべて等しいとする。

以上の条件において、図1の回路における電圧・電流の関係式を行列表示で記載すると、

$\left( \begin{array}{c} \dot{V_{as}} \\ \dot{V_{bs}} \\ \dot{V_{cs}}\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} \dot{V_{ar}} \\ \dot{V_{br}} \\ \dot{V_{cr}}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right) ・・・(1)$


式の導出はこちら↓

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0-1-2変換の計算

$a-b-c$領域の値を$0-1-2$領域の値に変換するためには、$(1)$式の左から変換行列$\boldsymbol{a}$を掛けて、

$\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot{V_{as}} \\ \dot{V_{bs}} \\ \dot{V_{cs}}\end{array} \right)-\boldsymbol{a} \left( \begin{array}{c} \dot{V_{ar}} \\ \dot{V_{br}} \\ \dot{V_{cr}}\end{array} \right)= \boldsymbol{a} \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\\dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}\dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right)$

$⇔\left( \begin{array}{c} \dot{V_{0s}} \\ \dot{V_{1s}} \\ \dot{V_{2s}}\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} \dot{V_{0r}} \\ \dot{V_{1r}} \\ \dot{V_{2r}}\end{array} \right)= \boldsymbol{a} \left(\begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m}& \dot{Z_s}\end{array} \right) \boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right) ・・・(2)$

ここで、$(2)$式のインピーダンス行列を計算すると、

$ \displaystyle{ \quad\frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}\dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\\dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\1& a^2 & a \\1& a & a^2\end{array} \right) }\\
= \displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc}\dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & \dot{Z_s}+2 \dot{Z_m}\\\dot{Z_s}-\dot{Z_m}& a(\dot{Z_s}-\dot{Z_m})& a^2(\dot{Z_s}-\dot{Z_m})\\ \dot{Z_s}-\dot{Z_m}&a^2(\dot{Z_s}-\dot{Z_m}) & a(\dot{Z_s}-\dot{Z_m}) \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\1& a^2 & a\\1& a & a^2\end{array} \right) } \\
= \left( \begin{array}{ccc}\dot{Z_s}+2 \dot{Z_m} & 0 & 0 \\0& \dot{Z_s}- \dot{Z_m} & 0 \\0& 0 & \dot{Z_s}- \dot{Z_m} \end{array} \right)\\
≡ \left( \begin{array}{ccc}\dot{Z_0}& 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_1} & 0 \\0& 0 &\dot{Z_2} \end{array} \right)  ・・・(3) $

したがって、$(2)$式は、

$\left( \begin{array}{c} \dot{V_{0s}} \\ \dot{V_{1s}} \\\dot{V_{2s}}\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} \dot{V_{0r}}\\ \dot{V_{1r}} \\ \dot{V_{2r}}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc}\dot{Z_0}& 0 & 0 \\ 0&\dot{Z_1} & 0 \\0& 0 &\dot{Z_2} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array} \right) ・・・(4)$

ただし、 $\dot{Z_0}=\dot{Z_s}+2 \dot{Z_m},\ \dot{Z_1}=\dot{Z_2}=\dot{Z_s}- \dot{Z_m}$

1回線送電線の零相・正相・逆相回路

$(4)$式に基づき、1回線送電線の零相・正相・逆相回路を描くと、図2のようになる。

図2 1回線送電線の等価回路($0-1-2$領域)

$(4)$式および図2より、発電機の場合と同様に、相間の相互インピーダンスを考える必要がなく、各成分ごとにその回路の自己インピーダンスのみ考慮すればよいことが分かる。

三相負荷の0-1-2変換

これまで、発電機および送電線の0-1-2変換を考えてきたが、電力系統で考慮すべき要素は残すは負荷である。

電力系統内の負荷は鉄道や電気炉など、不平衡負荷も一部存在はしているが、大概が三相平衡負荷である。したがって、実は各相の負荷の電圧、電流、インピーダンスについて、これまでの要素と同様に考えることができる。

計算はこれまでと同様なので省略し、対称座標法変換前($a-b-c$領域)と変換後($0-1-2$領域)における電圧と電流の関係式は、それぞれ、

$\left( \begin{array}{c} \dot{V_{a}} \\ \dot{V_{b}} \\ \dot{V_{c}}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\\dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}\dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array} \right) ・・・(5)$

$⇔\left( \begin{array}{c} \dot{V_{0}} \\ \dot{V_{1}} \\ \dot{V_{2}}\end{array} \right)= \left(\begin{array}{ccc}\dot{Z_0}& 0 & 0 \\ 0&\dot{Z_1}& 0 \\0& 0 &\dot{Z_2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\\dot{I_2}\end{array} \right) ・・・(6)$

ただし、 $\dot{Z_0}=\dot{Z_s}+2 \dot{Z_m},\ \dot{Z_1}=\dot{Z_2}=\dot{Z_s}- \dot{Z_m}$

となり、「発電機の基本式」と合わせ、これで電力系統の全ての要素の$0-1-2$変換が可能となった。


発電機の基本式についてはこちら↓

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2回線送電線の0-1-2変換

2回線送電線の等価回路

しかし、系統内の送電線は2回線で使用されるため、実用に伴う計算式を導入する必要がある。

図3によくねん架された2回線送電線の$a$相のみを取り出した等価回路を示す。
(同図では回路が視覚的に複雑になるため、2号線のインピーダンスは省略しているので注意願いたい)

図3 2回線送電線の等価回路

なお、電圧・電流の左側添字1, 2はそれぞれ1号線・2号線の諸量であることを示している。

図3より、1回線の場合と同様に各相の自己インピーダンス$\dot{Z_s}$および各相間の相互インピーダンス$\dot{Z_m}$が存在するが、今回はそれらに加え送電線間の相互インピーダンス$\dot{Z’_m}$が各相ごとに存在する(なんと、1相1回線ごとに6種類のインピーダンスを考慮しなければならない!)。

以上を考慮して、図3の回路における電圧・電流の関係式を行列表示で記載すると、

$\left( \begin{array}{c} \dot{_{1}V_{as}} \\ \dot{ _{1} V_{bs}} \\ \dot{ _{1} V_{cs}} \\ \dot{ _{2} V_{as}} \\ \dot{ _{2} V_{bs}} \\ \dot{ _{2} V_{cs}} \end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} \dot{ _{1} V_{ar}} \\ \dot{ _{1} V_{br}} \\\dot{ _{1} V_{cr}} \\ \dot{ _{2} V_{ar}} \\ \dot{ _{2} V_{br}} \\\dot{ _{2} V_{cr}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} & \dot{Z’_m}& \dot{Z’_m} & \dot{Z’_m}\\\dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} & \dot{Z’_m}& \dot{Z’_m} & \dot{Z’_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s}& \dot{Z’_m}& \dot{Z’_m} & \dot{Z’_m} \\ \dot{Z’_m}& \dot{Z’_m} & \dot{Z’_m} & \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z’_m}& \dot{Z’_m} & \dot{Z’_m} & \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z’_m}& \dot{Z’_m} & \dot{Z’_m} & \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot{ _{1} I_{a}} \\ \dot{ _{1} I_{b}} \\ \dot{ _{1} V_{c}} \\ \dot{ _{2} I_{a}} \\ \dot{ _{2} I_{b}} \\ \dot{ _{2} I_{c}} \end{array} \right) ・・・(7)$

変換計算式の分割

このままでは非常にわかりづらいため、$(7)$式を分割する。

・電圧および電流はたとえば送電線ごとに $ \left( \begin{array}{c} \dot{_{1}V_{as}} \\ \dot{ _{1} V_{bs}} \\ \dot{ _{1} V_{cs}} \end{array} \right) ≡\boldsymbol{ _{1}V_{abcs}} $などとまとめる。

・インピーダンス行列は$\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_s}& \dot{Z_m} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_s} & \dot{Z_m} \\ \dot{Z_m}& \dot{Z_m} & \dot{Z_s}\end{array} \right) ≡ \boldsymbol{Z},\ \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z’_m}& \dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m } \\ \dot{ Z’_m }& \dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m } \\ \dot{ Z’_m }&\dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m }\end{array} \right) ≡\boldsymbol{Z’_{m}} $と置く。

このようなルールにしたがって$(7)$式を分割すると、

$\begin{align}
\left.
\begin{array}
\boldsymbol { } \boldsymbol{ _{1}V_{abcs}}\ -\ \boldsymbol{ _{1}V_{abcr}}=\boldsymbol{ Z}\cdot \boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+ \boldsymbol{ Z’_{m} }\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}\\
\boldsymbol{ _{2}V_{abcs}}\ -\ \boldsymbol{ _{2}V_{abcr}}=\boldsymbol{Z’_{m} }\cdot \boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+ \boldsymbol{ Z }\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}
\end{array} \right\} { ・・・(8)}
\end{align}$

となり(行列表示よりは見た目が)簡素化された。

0-1-2変換の計算

$(8)$式を$0-1-2$変換するため、$(8)$式の左から変換行列$\boldsymbol{a}$を掛けて(なお、変換前添字abc→変換後012である)、

$\begin{align}
\begin{array}
\boldsymbol { } \boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{ _{1}V_{abcs}}\ – \boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ _{1}V_{abcr}}= \boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{ Z}\cdot \boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+ \boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{ Z’_{m} }\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}\\
\boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ _{2}V_{abcs}}\ – \boldsymbol {a}\cdot \ \boldsymbol{ _{2}V_{abcr}}= \boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{Z’_{m} }\cdot \boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+\boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ Z }\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}
\end{array}
\end{align}$

書き直して整理すると、

$\begin{align}
\left.
\begin{array}
\boldsymbol { } \boldsymbol{ _{1}V_{012s}}\ -\ \boldsymbol{ _{1}V_{012r}}= \boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ Z}\cdot \boldsymbol {a^{-1}}\cdot \boldsymbol{ _{1}I_{012}}+ \boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{ Z’_{m} }\cdot\boldsymbol {a^{-1}} \cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}\\
\boldsymbol{ _{2}V_{012s}}\ -\ \boldsymbol{ _{2}V_{012r}}= \boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ Z’_{m} }\cdot\boldsymbol {a^{-1}} \cdot \boldsymbol{ _{1}I_{012}}+ \boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ Z }\cdot \boldsymbol {a^{-1}}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}
\end{array} \right\} { ・・・(9)}
\end{align}$

$(9)$式のうち、$ \boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ Z}\cdot \boldsymbol {a^{-1}} $は$(3)$式と全く同じ計算なので、再掲すると、

$\boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ Z}\cdot \boldsymbol {a^{-1}} = \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z_0}& 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_1} & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z_2} \end{array} \right)≡ \boldsymbol{ Z_{012}}  ・・・(3) $

ただし、 $\dot{Z_0}=\dot{Z_s}+2 \dot{Z_m},\ \dot{Z_1}=\dot{Z_2}=\dot{Z_s}- \dot{Z_m}$

次に、$ \boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ Z’m}\cdot \boldsymbol {a^{-1}} $を計算すると、

$ \displaystyle{ \quad\frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z’_m}& \dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m } \\ \dot{ Z’_m }& \dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m } \\ \dot{ Z’_m }& \dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m } \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right) }\\
= \left( \begin{array}{ccc} \dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m } & \dot{ Z’_m } \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right) \\
= \left( \begin{array}{ccc} 3\dot{ Z’_m } & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{array} \right)≡ \boldsymbol{ Z’_{0m}}  ・・・(10) $

$(3)$および$(10)$式を$(9)$式に代入すると、

$\begin{align}
\left.
\begin{array}
\boldsymbol { } \boldsymbol{ _{1}V_{012s}}\ -\ \boldsymbol{ _{1}V_{012r}}= \boldsymbol{ Z_{012}}\cdot \boldsymbol{ _{1}I_{012}}+ \cdot\boldsymbol{ Z’_{0m} }\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}\\
\boldsymbol{ _{2}V_{012s}}\ -\ \boldsymbol{ _{2}V_{012r}}= \boldsymbol{ Z’_{0m} }\cdot \boldsymbol{ _{1}I_{012}}+ \boldsymbol{ Z_{012} }\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}
\end{array} \right\} { ・・・(11)}
\end{align}$

$(11)$式を行列表示に戻すと、

$ \left( \begin{array}{c} \dot{_{1}V_{0s}} \\ \dot{ _{1} V_{1s}} \\ \dot{ _{1} V_{2s}} \\ \dot{ _{2} V_{0s}} \\ \dot{ _{2} V_{1s}} \\ \dot{ _{2} V_{2s}} \end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} \dot{ _{1} V_{0r}} \\ \dot{ _{1} V_{1r}} \\ \dot{ _{1} V_{2r}} \\ \dot{ _{2} V_{0r}} \\ \dot{ _{2} V_{1r}} \\ \dot{ _{2} V_{2r}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccc} \dot{Z_0}& 0 & 0 & 3\dot{Z’_m}& 0 & 0 \\ 0& \dot{Z_1} & 0& 0 & 0 &0\\ 0& 0 & \dot{Z_2} & 0& 0 & 0 \\ 3\dot{Z’_m} & 0& 0 & \dot{Z_0}& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0& 0& \dot{Z_1} & 0 \\ 0& 0 &0 &0& 0 & \dot{Z_2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot{ _{1} I_{0}} \\ \dot{ _{1} I_{1}} \\ \dot{ _{1} V_{2}} \\ \dot{ _{2} I_{0}} \\ \dot{ _{2} I_{1}} \\ \dot{ _{2} I_{2}} \end{array} \right) ・・・(12)$

2回線送電線の零相・正相・逆相回路

$(12)$式をさらに各成分ごとに式を分割すると(上から零相、正相、逆相)、

$\begin{align}
\left.
\begin{array}
\ \dot{ _{1}V_{0s}} -\dot { _{1}V_{0r}}= \dot{Z_{0}}\cdot\dot{ _{1}I_{0}}+\dot{ 3Z’_{m} }\cdot\dot{ _{2}I_{0}}\\
\dot { _{2}V_{0s}} -\ \dot{ _{2}V_{0r}}= \dot{ 3Z’_{m} } \cdot \dot { _{1}I_{0}}+ \dot {Z_{0}} \cdot \dot { _{2}I_{0}}
\end{array} \right\} { ・・・(13a)}
\end{align}$

$\begin{align}
\left.
\begin{array}
\dot{ _{1}V_{1s}} -\ \dot { _{1}V_{1r}}= \dot {Z_{1}}\cdot \dot{ _{1}I_{1}}\\
\dot{ _{2}V_{1s}} -\ \dot { _{2}V_{1r}}= \dot {Z_{1}} \cdot \dot { _{2}I_{1}}
\end{array} \right\} {        ・・・(13b)}
\end{align}$

$\begin{align}
\left.
\begin{array}
\dot{ _{1}V_{2s}} -\ \dot { _{1}V_{2r}}= \dot {Z_{2}}\cdot \dot{ _{1}I_{2}}\\
\dot{ _{2}V_{2s}} -\ \dot { _{2}V_{2r}}= \dot {Z_{2}} \cdot \dot { _{2}I_{2}}
\end{array} \right\} {        ・・・(13c)}
\end{align}$

$(13a)~(13c)$式に基づき2回線送電線の零相・正相・逆相回路を描くと、図4のようになる。

図4 2回線送電線の等価回路($0-1-2$領域)

$(13a)~(13c)$式および図4より、$0-1-2$変換後は1回線の場合と同様に、各回路において相間の相互インピーダンスは考慮する必要がなくなることが分かる。

次に、送電線間の相互インピーダンスについて、正相および逆相回路については考慮する必要がなくなり、その回路の自己インピーダンスのみ考えればよい完全に個々に独立した回路となる。

零相回路については相互インピーダンス$\dot{ 3Z’_{m} }$が残ってしまうが、それ以外は他成分と同様に回路の自己インピーダンスのみ考えればよいことになる。

まとめ

1回線送電線の場合は、対称座標法により、相間の相互インピーダンスを考える必要がなく、各成分ごとに自己インピーダンスのみ考えればよい完全に独立した回路に変換される。

・三相負荷の場合も発電機、送電線と同形式の変換式を立てることができる。これで電力系統全体を$0-1-2$領域に変換することが可能となった。

2回線送電線の場合は、$a-b-c$領域の場合は相間のみならず送電線間の相互インピーダンスを考慮する必要があって、非常に計算が煩雑になる。

しかし、対称座標法を適用することにより、送電線間の相互インピーダンスは零相回路のみ考慮すればよく、計算が圧倒的に簡素化される。

故障計算への適用

これまでの記事で、対称座標法という変数変換法が成立する理由、その変換式、電力系統への適用という流れで書いてきた。

最大のメリットは(これまで何度も言ってきたように)回路の相互インピーダンスを考えなくてよく、計算が簡素化されるという点である。本記事の2回線送電線の場合をみるとわかるように、複雑な回路であるほどそのご利益は大きい。

そして、電気の世界で対称座標法の威力が発揮されるのは系統内の故障計算においてである。

故障計算パターンのリスト

三相短絡故障
二相短絡(相間短絡)故障
一線地絡故障(地絡抵抗あり・なし)
二線地絡故障(地絡抵抗あり・なし)
三線地絡故障(地絡抵抗あり・なし)
一線断線故障
二線断線故障

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