クラーク変換法の基本式

本記事では実際の計算で使用するクラーク変換法の基本式について導出する。

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α-β-0領域⇒a-b-c領域への変換

電圧のα-β-0⇒a-b-c変換式

今回扱う$a-b-c$領域の電気量ベクトルは、これまで用いてきたものと同様の図1のベクトルとする。

図1 $a-b-c$領域の電気量ベクトル

クラーク変換法①」の$(1)$および$(2)$式より、$\alpha$電圧$\dot{V_\alpha}$および$\beta$電圧$\dot{V_\beta}$と、正相電圧$\dot{V_1}$および逆相電圧$\dot{V_2}$の関係は、

$$\begin{align}
\dot{V_\alpha}=\dot{V_1}+\dot{V_2}   ・・・(1)\\
\dot{V_\beta}=-j(\dot{V_1}-\dot{V_2}) ・・・(2)
\end{align}$$

また、「対称座標法③」の$(1b)$および$(1c)$式より、$\dot{V_1}$, $\dot{V_2}$の定義式は、

$$\dot { { V }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a\dot { { V }_{ b } } +a^2\dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(3)\\
\dot { { V }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a^2\dot { { V }_{ b } } +a\dot { { V }_{ c } } \right) ・・・(4)$$

$(3)$および$(4)$式を$(1)$および$(2)$式に代入すると、$a+a^2=-1$, $a-a^2=j\sqrt{3}$であることに注意して、

$\displaystyle{\dot{V_\alpha}=\dot{V_1}+\dot{V_2}\\
\quad= \frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a\dot { { V }_{ b } } +a^2\dot { { V }_{ c } } \right) + \frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +a^2\dot { { V }_{ b } } +a\dot { { V }_{ c } } \right)\\
\quad= \frac { 1 }{ 3 } (2\dot{V_a}- \dot{V_b}-\dot{V_c} )           ・・・(5a)}$

$\dot{V_\beta}= -j(\dot{V_1}-\dot{V_2}) \\
\displaystyle{ \quad= -j\frac { 1 }{ 3 }\{\left(\dot { { V }_{ a } } +a\dot { { V }_{ b } } +a^2\dot { { V }_{ c } } \right) – \left( \dot { { V }_{ a } } +a^2\dot { { V }_{ b } } +a\dot { { V }_{ c } }\right)\}\\
\quad= \frac { \sqrt{3} }{ 3 } (\dot{V_b}-\dot{V_c} )             ・・・(5b)}$

さらに、零相電圧$\dot{V_0}$の定義式は、同記事の$(1a)$式より、

$\displaystyle{\dot { { V }_{ 0 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \dot { { V }_{ a } } +\dot { { V }_{ b } } +\dot { { V }_{ c } } \right)}           ・・・(5c)$

行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) = \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{\alpha}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) ・・・(5)$$

なお、 $\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}$を$\dot{V_\alpha}$, $\dot{V_\beta}$, $\dot{V_0}$に変換した場合のベクトル図を図2に示す。

図2  $a-b-c$成分→$\alpha-\beta-0$成分への変換

電流のα-β-0⇒a-b-c変換式

これまで電圧について論じてきたが、電流についても同様に、

$$\begin{align}
\dot{I_\alpha}=\frac { 1 }{ 3 } (2\dot{I_a}- \dot{I_b}-\dot{I_c} ) ・・・(6a)\\
\dot{I_\beta}= \frac { \sqrt{3} }{ 3 } (\quad\quad\dot{I_b}-\dot{I_c} ) ・・・(6b)\\
\dot { { I }_{ 0 } }=\ \ \frac { 1 }{ 3 }( \dot { {I }_{ a } } +\dot { { I}_{ b } } +\dot { { I }_{ c } } ) ・・・(6c)
\end{align}$$

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { I }_{ \alpha } } \\ \dot { { I}_{ \beta } } \\ \dot { { I }_{ 0 } } \end{array} \right) = \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ a } } \\ \dot { { I }_{ b } } \\ \dot { { I }_{ c } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{\alpha}\left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ a } } \\ \dot { { I }_{ b } } \\ \dot { { I }_{ c } } \end{array} \right) ・・・(6)$$

a-b-c領域⇒α-β-0領域への変換

電圧のa-b-c⇒α-β-0変換式

$a-b-c$領域→$\alpha-\beta-0$領域への変換については既に記事①で導出しており、同記事の$(3)$~$(5)$式を再掲すると、

$$\begin{align}
\dot{V_a}=\ \ \quad\dot{V_\alpha}\quad \quad \qquad +\dot{V_0} ・・・(7a) \\
\dot{V_b}=-\frac{1}{2}\dot{V_\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{2}\dot{V_\beta}+ \dot{V_0}  ・・・(7b) \\
\dot{V_c}=-\frac{1}{2}\dot{V_\alpha}-\frac{\sqrt{3}}{2}\dot{V_\beta}+ \dot{V_0}  ・・・(7c)
\end{align} $$

行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} &\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} &-\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(7)$$

電流のa-b-c⇒α-β-0変換式

電流についても同様に、

$$\begin{align}
\dot{I_a}=\ \ \quad\dot{I_\alpha}\quad \quad \qquad +\dot{I_0} ・・・(8a) \\
\dot{I_b}=-\frac{1}{2}\dot{I_\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{2}\dot{I_\beta}+ \dot{I_0}  ・・・(8b) \\
\dot{I_c}=-\frac{1}{2}\dot{I_\alpha}-\frac{\sqrt{3}}{2}\dot{I_\beta}+ \dot{I_0}  ・・・(8c)
\end{align} $$

$$\left(\begin{array}{c} \dot { { I }_{ a } } \\ \dot { { I }_{ b } } \\ \dot { { I }_{ c } } \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} &\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} &-\frac{ \sqrt{3} }{2}& 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ \alpha } } \\ \dot { {I }_{ \beta } } \\ \dot { {I }_{ 0 } } \end{array} \right)≡\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { I }_{ \alpha } } \\ \dot { { I }_{ \beta } } \\ \dot { { I }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(8)$$

ここで、変換行列$\boldsymbol{\alpha}$と逆変換行列$\boldsymbol{\alpha^{-1}}$は互いに逆行列の関係にある。

なお、 $\dot{V_\alpha}$, $\dot{V_\beta}$, $\dot{V_0}$ を$\dot{V_a}$, $\dot{V_b}$, $\dot{V_c}$に変換した場合のベクトル図を図3に示す。

図3  $\alpha-\beta-0$成分→$a-b-c$成分への変換

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