直列回路の過渡現象まとめ

素子を直列に接続した回路にスイッチをいれた直後の過渡現象についてまとめる。

過渡現象とは

過渡現象とは「ある定常状態から別の定常状態に移行する際に起こる現象」である。

微分方程式で表される回路方程式の解は、

  • 次の状態に移行する際の「過渡状態」においてのみ現れ、時間が経つと$0$になる過渡解
  • 回路の定常状態を表す定常解

の2つの重ね合わせによって表すことができる。

 

回路方程式を電流$i$について解く場合、過渡解を$i_t$,定常解を$i_s$とすると、

$$i=i_t+i_s$$

と表すことができる。$i_t,\ i_s$を個別に求め、足し合わせて$i$を求める。

 

その他、回路方程式をラプラス変換することで、$i$の式を直接求めることもできる。

直流回路の過渡現象

直流電源が接続された各回路について、電流・電圧は下記となる。

RL直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)}\\\\
v_L=Ee^{-\frac{R}{L}t}\\\\
v_R=E\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\\\
\end{cases}$$

 

 

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RC直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\frac{E}{R}}e^{-\frac{t}{CR}}\\\\
v_R=Ee^{-\frac{t}{CR}}\\\\
v_C=E\left(1-e^{-\frac{t}{CR}}\right)
\end{cases}$$

 

 

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RLC直列回路

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{E}{L\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}}}e^{-\alpha t}\sinh{\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}t}&\left(\alpha^2>{\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{\frac{E}{L}}te^{-\alpha t}&\left(\alpha^2={\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{\frac{E}{L\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}}}e^{-\alpha t}\sin{\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}t}&\left(\alpha^2<{\omega_0}^2\right)
\end{cases}$$

ただし、

$$\alpha=\displaystyle{\frac{R}{2L}},\ \omega_0=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$$

 

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交流回路の過渡現象

波高値$E_m$,周波数$\omega$である交流電源が接続された各回路について、電流は下記となる。

RL直列回路

 

$$i=\frac{E_m}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}\left\{e^{-\frac{R}{L}t}\sin\phi+\sin\left(\omega t-\phi\right)\right\}$$

ただし、

$$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}}$$

 

 

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RC直列回路

 

$$i=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\left\{\cos\left(\omega t-\phi\right)-e^{-\frac{t}{CR}t}\cos\phi\right\}$$

ただし、

$$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\omega CR}$$

 

 

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RLC直列回路

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi\cosh\beta t-\left(\frac{\alpha}{\beta}\sin\phi+\frac{\alpha^2-\beta^2}{\omega\beta}\cos\phi\right)\sinh\beta t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\\
\left(\alpha^2>{\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi-\left(\alpha\sin\phi+\frac{\alpha^2}{\omega}\cos\phi\right)t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\left(\alpha^2={\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi\cos\gamma t-\left(\frac{\alpha}{\gamma}\sin\phi+\frac{\alpha^2+\gamma^2}{\omega\gamma}\cos\phi\right)\sin\gamma t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\\
\left(\alpha^2<{\omega_0}^2\right)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}I_m&=\displaystyle{\frac{E_m}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}},\ \phi=\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}},\ \alpha=\displaystyle{\frac{R}{2L}},\\\\
\omega_0&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}},\ \beta=\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2},\ \gamma=\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}\end{align*}$$

 

 

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