回路の過渡現象まとめ

本記事では、各素子を接続した回路にスイッチをいれた直後の過渡現象についてまとめる。





過渡現象とは

過渡現象とは「ある定常状態から別の定常状態に移行する際に起こる現象」である。

 

微分方程式で表される回路方程式の解は、

  • 次の状態に移行する際の「過渡状態」においてのみ現れ、時間が経つと$0$になる過渡解
  • 回路の定常状態を表す定常解

の2つの重ね合わせによって表すことができる。

 

回路方程式を電流$i$について解く場合、過渡解を$i_t$,定常解を$i_s$とすると、

$$i=i_t+i_s$$

と表すことができる。$i_t,\ i_s$を個別に求め、足し合わせて$i$を求める。

 

その他、回路方程式をラプラス変換することで、$i$の式を直接求めることもできる。

 

直流回路の過渡現象

直流電源が接続された各回路について、電流・電圧は下記となる。

 

RL直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)}\\\\
v_L=Ee^{-\frac{R}{L}t}\\\\
v_R=E\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\\\
\end{cases}$$

 

 

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RL並列回路

スイッチ開→閉(0 < t  < T)

 

 

$$\begin{cases}
i_\mathrm{L}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}\\\\
i_\mathrm{R}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0+R}}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\\\\
i&=\displaystyle{\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}}\left[R_0+R\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}\right]\\\\
v&=\displaystyle{\frac{RE}{R_0+R}}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}
\end{cases}$$

 

スイッチ閉→開(t ≥ T)

 

$$\begin{cases}
i&=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}\\\\
v&=\displaystyle{-\frac{RE}{R_0}}e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}
\end{cases}$$

 

 

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RC直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\frac{E}{R}}e^{-\frac{t}{CR}}\\\\
v_R=Ee^{-\frac{t}{CR}}\\\\
v_C=E\left(1-e^{-\frac{t}{CR}}\right)
\end{cases}$$

 

 

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RC並列回路

スイッチ開→閉(0 < t  < T)

 

$$\begin{cases}
i_\mathrm{C}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\\\\
i_\mathrm{R}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0+R}}\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)\\\\
i&=\displaystyle{\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}}\left(R_0+Re^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)\\\\
v&=\displaystyle{\frac{RE}{R_0+R}}\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)
\end{cases}$$

 

スイッチ閉→開(t ≥ T)

 

$$\begin{cases}
i&=-\displaystyle{\frac{E}{R_0+R}}e^{-\frac{t-T}{CR}}\\\\
v&=\displaystyle{\frac{RE}{R_0+R}}e^{-\frac{t-T}{CR}}
\end{cases}$$

 

 

 

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LC直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\sqrt{\frac{C}{L}}}E\sin\displaystyle{\frac{t}{\sqrt{LC}}}\\\\
v_\mathrm{L}=E\cos\displaystyle{\frac{t}{\sqrt{LC}}}\\\\
v_\mathrm{C}=E\left(1-\cos\displaystyle{\frac{t}{\sqrt{LC}}}\right)
\end{cases}$$

 

 

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LC並列回路

スイッチ開→閉(0 < t  < T)

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sinh\beta t\right)}\\\\
\displaystyle{\frac{E}{R_0}\left(1-2\alpha te^{-\alpha t}\right)}\\\\
\displaystyle{\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sin\beta t\right)}
\end{cases}$$

ただし、

$$\alpha\equiv\displaystyle{\frac{1}{2R_0C}},\ \omega_0\equiv\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}},\ \sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}\equiv\beta$$

 

 

スイッチ閉→開(t ≥ T)

 

$$i=\frac{E}{R_0}\cos\omega_0\left(t-T\right)$$

ただし、

$$\omega_0\equiv\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$$

 

 

 

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RLC直列回路

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{E}{L\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}}}e^{-\alpha t}\sinh{\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}t}&\left(\alpha^2>{\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{\frac{E}{L}}te^{-\alpha t}&\left(\alpha^2={\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{\frac{E}{L\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}}}e^{-\alpha t}\sin{\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}t}&\left(\alpha^2<{\omega_0}^2\right)
\end{cases}$$

ただし、

$$\alpha=\displaystyle{\frac{R}{2L}},\ \omega_0=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$$

 

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相互誘導回路

 

$$\begin{align*}
i_1&=-\frac{\left(L_1B_2+R_1\right)B_1}{\left(B_1-B_2\right)R^2_1}Ee^{B_1t}+\frac{\left(L_1B_1+R_1\right)B_2}{\left(B_1-B_2\right)R^2_1}Ee^{B_2t}+\frac{E}{R_1}\\\\
&=\frac{E}{R_1}\left[1-\frac{1}{\left(B_1-B_2\right)R_1}\left\{\left(L_1B_2+R_1\right)B_1e^{B_1t}-\left(L_1B_1+R_1\right)B_2e^{B_2t}\right\}\right]\\\\
i_2&=\frac{\left(L_1B_1+R_1\right)\left(L_1B_2+R_1\right)}{\left(B_1-B_2\right)MR^2_1}E\left(e^{B_1t}-e^{B_2t}\right)
\end{align*}$$

 

ただし、

$B_1,\ B_2=\displaystyle{\frac{-\left(L_1R_2+L_2R_1\right)\pm\sqrt{\left(L_1R_2-L_2R_1\right)^2+4M^2R_1R_2}}{2\left(L_1L_2-M^2\right)}}$(複号同順)

 

 

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交流回路の過渡現象

波高値$E_m$,周波数$\omega$である交流電源が接続された各回路について、電流は下記となる。

 

RL直列回路

 

$$i=\frac{E_m}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}\left\{e^{-\frac{R}{L}t}\sin\phi+\sin\left(\omega t-\phi\right)\right\}$$

ただし、

$$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}}$$

 

 

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RC直列回路

 

$$i=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\left\{\cos\left(\omega t-\phi\right)-e^{-\frac{t}{CR}t}\cos\phi\right\}$$

ただし、

$$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\omega CR}$$

 

 

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RLC直列回路

 

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi\cosh\beta t-\left(\frac{\alpha}{\beta}\sin\phi+\frac{\alpha^2-\beta^2}{\omega\beta}\cos\phi\right)\sinh\beta t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\\
\left(\alpha^2>{\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi-\left(\alpha\sin\phi+\frac{\alpha^2}{\omega}\cos\phi\right)t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\left(\alpha^2={\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi\cos\gamma t-\left(\frac{\alpha}{\gamma}\sin\phi+\frac{\alpha^2+\gamma^2}{\omega\gamma}\cos\phi\right)\sin\gamma t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\\
\left(\alpha^2<{\omega_0}^2\right)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}I_m&=\displaystyle{\frac{E_m}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}},\ \phi=\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}},\ \alpha=\displaystyle{\frac{R}{2L}},\\\\
\omega_0&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}},\ \beta=\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2},\ \gamma=\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}\end{align*}$$

 

 

相互誘導回路

 

$$\begin{cases}
i_1&=A_{11}e^{B_1t}+A_{12}e^{B_2t}+\displaystyle{\frac{E_\mathrm{m}}{Z_1}}\sin\left(\omega t+\theta-\phi_1\right)\\\\
i_2&=A_{21}e^{B_1t}+A_{22}e^{B_2t}+\displaystyle{\frac{E_\mathrm{m}}{Z_2}}\sin\left(\omega t+\theta-\phi_2\right)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}
A_{11}&=-\frac{B_1B_2E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)R_1}\left\{\frac{L_1B_2+R_1}{Z_1B_2}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}\\\\
A_{12}&=\frac{B_1B_2E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)R_1}\left\{\frac{L_1B_1+R_1}{Z_1B_1}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}\\\\
A_{21}&=\frac{\left(L_1B_1+R_1\right)B_2E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)MR_1}\left\{\frac{L_1B_2+R_1}{Z_1B_2}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}\\\\
A_{22}&=-\frac{\left(L_1B_2+R_1\right)B_1E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)MR_1}\left\{\frac{L_1B_1+R_1}{Z_1B_1}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}
\end{align*}$$

 

$$B_1,\ B_2=\displaystyle{\frac{-\left(L_1R_2+L_2R_1\right)\pm\sqrt{\left(L_1R_2-L_2R_1\right)^2+4M^2R_1R_2}}{2\left(L_1L_2-M^2\right)}}$$

($B_1,\ B_2$は複号同順)

 

$$\begin{align*}
Z_1&=\sqrt{\frac{\left\{R_1R_2-\omega^2\left(L_1L_2-M^2\right)\right\}^2+\omega^2\left(L_1R_2+L_2R_1\right)^2}{R^2_2+\omega^2L^2_2}}\\\\
Z_2&=\frac{\sqrt{\left\{R_1R_2-\omega^2\left(L_1L_2-M^2\right)\right\}^2+\omega^2\left(L_1R_2+L_2R_1\right)^2}}{\omega M}\\\\
\phi_1&=\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\omega\left\{\omega^2L_2\left(L_1L_2-M^2\right)+R_2\left(L_1R_2+L_2R_1\right)\right\}}{R_1R^2_2+\omega^2\left(L^2_2R_1+M^2R_2\right)}}\\\\
\phi_2&=\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\omega^2\left(L_1L_2-M^2\right)-R_1R_2}{\omega\left(L_1R_2+L_2R_1\right)}}
\end{align*}$$

 

 

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