回路の過渡現象まとめ

本記事では、各素子を接続した回路にスイッチをいれた直後の過渡現象についてまとめる。

過渡現象とは

過渡現象とは「ある定常状態から別の定常状態に移行する際に起こる現象」である。

 

微分方程式で表される回路方程式の解は、

  • 次の状態に移行する際の「過渡状態」においてのみ現れ、時間が経つと$0$になる過渡解
  • 回路の定常状態を表す定常解

の2つの重ね合わせによって表すことができる。

 

回路方程式を電流$i$について解く場合、過渡解を$i_t$,定常解を$i_s$とすると、

$$i=i_t+i_s$$

と表すことができる。$i_t,\ i_s$を個別に求め、足し合わせて$i$を求める。

 

その他、回路方程式をラプラス変換することで、$i$の式を直接求めることもできる。

 

直流回路の過渡現象

直流電源が接続された各回路について、電流・電圧は下記となる。

 

RL直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)}\\\\
v_L=Ee^{-\frac{R}{L}t}\\\\
v_R=E\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\\\
\end{cases}$$

 

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$RL$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に直流電源$E$,抵抗$R$,インダクタンス$L$が接続された$RL$直列回路を示す。 図1 $R[…]

 

RL並列回路

スイッチ開→閉(0 < t  < T)

 

 

$$\begin{cases}
i_\mathrm{L}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}\\\\
i_\mathrm{R}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0+R}}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\\\\
i&=\displaystyle{\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}}\left[R_0+R\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}\right]\\\\
v&=\displaystyle{\frac{RE}{R_0+R}}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}
\end{cases}$$

 

スイッチ閉→開(t ≥ T)

 

$$\begin{cases}
i&=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}\\\\
v&=\displaystyle{-\frac{RE}{R_0}}e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}
\end{cases}$$

 

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$RL$並列回路における過渡現象について解説する。回路方程式(スイッチ開→閉)直流電源$E$,抵抗$R_0$および$R$,インダクタンス$L$が接続された$RL$並列回路にて、時間$t=0$で[…]

 

RC直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\frac{E}{R}}e^{-\frac{t}{CR}}\\\\
v_R=Ee^{-\frac{t}{CR}}\\\\
v_C=E\left(1-e^{-\frac{t}{CR}}\right)
\end{cases}$$

 

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$RC$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に直流電源$E$,抵抗$R$,静電容量$C$が接続された$RC$直列回路を示す。このとき、スイッチが入る前には$C$は充[…]

 

RC並列回路

スイッチ開→閉(0 < t  < T)

 

$$\begin{cases}
i_\mathrm{C}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\\\\
i_\mathrm{R}&=\displaystyle{\frac{E}{R_0+R}}\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)\\\\
i&=\displaystyle{\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}}\left(R_0+Re^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)\\\\
v&=\displaystyle{\frac{RE}{R_0+R}}\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)
\end{cases}$$

 

スイッチ閉→開(t ≥ T)

 

$$\begin{cases}
i&=-\displaystyle{\frac{E}{R_0+R}}e^{-\frac{t-T}{CR}}\\\\
v&=\displaystyle{\frac{RE}{R_0+R}}e^{-\frac{t-T}{CR}}
\end{cases}$$

 

 

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$RC$並列回路における過渡現象について解説する。回路方程式(スイッチ開→閉)直流電源$E$,抵抗$R_0$および$R$,静電容量$C$が接続された$RC$並列回路にて、時間$t=0$でスイッ[…]

 

LC直列回路

 

$$\begin{cases}
i=\displaystyle{\sqrt{\frac{C}{L}}}E\sin\displaystyle{\frac{t}{\sqrt{LC}}}\\\\
v_\mathrm{L}=E\cos\displaystyle{\frac{t}{\sqrt{LC}}}\\\\
v_\mathrm{C}=E\left(1-\cos\displaystyle{\frac{t}{\sqrt{LC}}}\right)
\end{cases}$$

 

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$LC$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に直流電源$E$,インダクタンス$L$,静電容量$C$が接続された$LC$直列回路を示す。 図1 […]

 

LC並列回路

スイッチ開→閉(0 < t  < T)

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sinh\beta t\right)}\\\\
\displaystyle{\frac{E}{R_0}\left(1-2\alpha te^{-\alpha t}\right)}\\\\
\displaystyle{\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sin\beta t\right)}
\end{cases}$$

ただし、

$$\alpha\equiv\displaystyle{\frac{1}{2R_0C}},\ \omega_0\equiv\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}},\ \sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}\equiv\beta$$

 

 

スイッチ閉→開(t ≥ T)

 

$$i=\frac{E}{R_0}\cos\omega_0\left(t-T\right)$$

ただし、

$$\omega_0\equiv\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$$

 

 

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$LC$並列回路における過渡現象について解説する。回路方程式(スイッチ開→閉)直流電源$E$,抵抗$R_0$,静電容量$C$,インダクタンス$L$が接続された$LC$並列回路にて、時間$t=0[…]

 

RLC直列回路

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{E}{L\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}}}e^{-\alpha t}\sinh{\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}t}&\left(\alpha^2>{\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{\frac{E}{L}}te^{-\alpha t}&\left(\alpha^2={\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{\frac{E}{L\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}}}e^{-\alpha t}\sin{\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}t}&\left(\alpha^2<{\omega_0}^2\right)
\end{cases}$$

ただし、

$$\alpha=\displaystyle{\frac{R}{2L}},\ \omega_0=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$$

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$RLC$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に直流電源$E$,抵抗$R$,インダクタンス$L$,静電容量$C$が接続された$RLC$直列回路を示す。このとき、スイ[…]

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$RLC$直列回路における過渡現象について、ラプラス変換を用いた解法について解説する。回路方程式図1に直流電源$E$,抵抗$R$,インダクタンス$L$,静電容量$C$が接続された$RLC$直列[…]

関連記事

本記事では、$RLC$直列回路の過渡現象の例題として、旧制度の電験一種の過去問題を取り上げる。RLC直列回路の過渡現象(直流回路):例題出典:電験一種筆記試験「理論」 昭和46年度問3(問題文の記述を一部変更しています)[…]

 

相互誘導回路

 

$$\begin{align*}
i_1&=-\frac{\left(L_1B_2+R_1\right)B_1}{\left(B_1-B_2\right)R^2_1}Ee^{B_1t}+\frac{\left(L_1B_1+R_1\right)B_2}{\left(B_1-B_2\right)R^2_1}Ee^{B_2t}+\frac{E}{R_1}\\\\
&=\frac{E}{R_1}\left[1-\frac{1}{\left(B_1-B_2\right)R_1}\left\{\left(L_1B_2+R_1\right)B_1e^{B_1t}-\left(L_1B_1+R_1\right)B_2e^{B_2t}\right\}\right]\\\\
i_2&=\frac{\left(L_1B_1+R_1\right)\left(L_1B_2+R_1\right)}{\left(B_1-B_2\right)MR^2_1}E\left(e^{B_1t}-e^{B_2t}\right)
\end{align*}$$

 

ただし、

$B_1,\ B_2=\displaystyle{\frac{-\left(L_1R_2+L_2R_1\right)\pm\sqrt{\left(L_1R_2-L_2R_1\right)^2+4M^2R_1R_2}}{2\left(L_1L_2-M^2\right)}}$(複号同順)

 

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された、相互インダクタンスを含む相互誘導回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1は、自己インダクタンスがそれぞれ$L_1$,$L_2$,および相互インダクタンス$M$となる2つのコイルを[…]

 

 

交流回路の過渡現象

波高値$E_m$,周波数$\omega$である交流電源が接続された各回路について、電流は下記となる。

 

RL直列回路

 

$$i=\frac{E_m}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}\left\{e^{-\frac{R}{L}t}\sin\phi+\sin\left(\omega t-\phi\right)\right\}$$

ただし、

$$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}}$$

 

 

関連記事

本記事では、交流電源が接続された$RL$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に抵抗$R$,インダクタンス$L$のコイルで構成され、波高値$E_m$,周波数$\omega$である交流電源$e=E_m\sin[…]

 

RC直列回路

 

$$i=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\left\{\cos\left(\omega t-\phi\right)-e^{-\frac{t}{CR}t}\cos\phi\right\}$$

ただし、

$$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\omega CR}$$

 

 

関連記事

本記事では、交流電源が接続された$RC$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に抵抗$R$,静電容量$C$のコンデンサで構成された$RC$直列回路には、波高値$E_m$,周波数ωである交流電源$e=E_m$[…]

関連記事

交流回路の過渡現象は計算が煩雑になり、どのような現象が起きているのか分かりづらい部分がある。本記事では、電験一種の過去問題を例題として、$RC$交流回路の過渡現象について考える。RC交流回路の過渡現象:例題出典:電験[…]

 

RLC直列回路

 

 

$$i=\begin{cases}
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi\cosh\beta t-\left(\frac{\alpha}{\beta}\sin\phi+\frac{\alpha^2-\beta^2}{\omega\beta}\cos\phi\right)\sinh\beta t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\\
\left(\alpha^2>{\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi-\left(\alpha\sin\phi+\frac{\alpha^2}{\omega}\cos\phi\right)t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\left(\alpha^2={\omega_0}^2\right)\\\\
\displaystyle{I_me^{-\alpha t}\left\{\sin\phi\cos\gamma t-\left(\frac{\alpha}{\gamma}\sin\phi+\frac{\alpha^2+\gamma^2}{\omega\gamma}\cos\phi\right)\sin\gamma t\right\}+I_m\sin\left(\omega t-\phi\right)}\\
\left(\alpha^2<{\omega_0}^2\right)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}I_m&=\displaystyle{\frac{E_m}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}},\ \phi=\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}},\ \alpha=\displaystyle{\frac{R}{2L}},\\\\
\omega_0&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}},\ \beta=\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2},\ \gamma=\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}\end{align*}$$

 

 

相互誘導回路

 

$$\begin{cases}
i_1&=A_{11}e^{B_1t}+A_{12}e^{B_2t}+\displaystyle{\frac{E_\mathrm{m}}{Z_1}}\sin\left(\omega t+\theta-\phi_1\right)\\\\
i_2&=A_{21}e^{B_1t}+A_{22}e^{B_2t}+\displaystyle{\frac{E_\mathrm{m}}{Z_2}}\sin\left(\omega t+\theta-\phi_2\right)
\end{cases}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}
A_{11}&=-\frac{B_1B_2E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)R_1}\left\{\frac{L_1B_2+R_1}{Z_1B_2}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}\\\\
A_{12}&=\frac{B_1B_2E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)R_1}\left\{\frac{L_1B_1+R_1}{Z_1B_1}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}\\\\
A_{21}&=\frac{\left(L_1B_1+R_1\right)B_2E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)MR_1}\left\{\frac{L_1B_2+R_1}{Z_1B_2}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}\\\\
A_{22}&=-\frac{\left(L_1B_2+R_1\right)B_1E_\mathrm{m}}{\left(B_1-B_2\right)MR_1}\left\{\frac{L_1B_1+R_1}{Z_1B_1}\sin\left(\theta-\phi_1\right)-\frac{1}{Z_2}\sin\left(\theta-\phi_2\right)\right\}
\end{align*}$$

 

$$B_1,\ B_2=\displaystyle{\frac{-\left(L_1R_2+L_2R_1\right)\pm\sqrt{\left(L_1R_2-L_2R_1\right)^2+4M^2R_1R_2}}{2\left(L_1L_2-M^2\right)}}$$

($B_1,\ B_2$は複号同順)

 

$$\begin{align*}
Z_1&=\sqrt{\frac{\left\{R_1R_2-\omega^2\left(L_1L_2-M^2\right)\right\}^2+\omega^2\left(L_1R_2+L_2R_1\right)^2}{R^2_2+\omega^2L^2_2}}\\\\
Z_2&=\frac{\sqrt{\left\{R_1R_2-\omega^2\left(L_1L_2-M^2\right)\right\}^2+\omega^2\left(L_1R_2+L_2R_1\right)^2}}{\omega M}\\\\
\phi_1&=\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\omega\left\{\omega^2L_2\left(L_1L_2-M^2\right)+R_2\left(L_1R_2+L_2R_1\right)\right\}}{R_1R^2_2+\omega^2\left(L^2_2R_1+M^2R_2\right)}}\\\\
\phi_2&=\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\omega^2\left(L_1L_2-M^2\right)-R_1R_2}{\omega\left(L_1R_2+L_2R_1\right)}}
\end{align*}$$

 

 

関連記事

本記事では、交流電源が接続された$RLC$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1の抵抗$R$,インダクタンス$L$のコイル,静電容量$C$のコンデンサで構成された$RLC$直列回路には、波高値$E_m$,周[…]

 

著書・製品のご紹介

『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている!

電験戦士教本

※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]

 

この講座との出会いは、数学が苦手なあなたを救う!

一般社団法人 建設業教育協会

電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…

 

すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました!

SAT二種講座

※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました! 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]

 

初学者が躓きがちなギモンを、電験アカデミアがスッキリ解決します!

電験カフェ

※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]