相反定理と四端子定数

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相反定理

図1のような四端子回路において、下記の条件を考える。

・同図の四端子回路は内部に電源がなく、かつ受動線形素子(抵抗、インダクタンス、コンデンサなど)で構成されることとする。

・端子1-1’を開放、かつ端子2-2’間を短絡したとき(上図)、端子1-1’間に発生する開放電圧を$\dot{V_1}$, 端子2-2’間に流れる短絡電流を$\dot{I_1}$とする(このとき、端子1-1’間に流れる電流は開放状態なのでゼロである)。

・端子2-2’を開放、かつ端子1-1’間を短絡したとき(下図)、端子2-2’間に発生する開放電圧を$\dot{V_2}$, 端子1-1’間に流れる短絡電流を$\dot{I_2}$とする(このとき、端子2-2’間に流れる電流は開放状態なのでゼロである) 。

図1 相反回路

このような条件下において、

$$\left.\frac{\dot{V_1}}{\dot{I_1}}\right|_ {\dot{I_2}=0} =\left.\frac{\dot{V_2}}{\dot{I_2}} \right|_ {\dot{I_1}=0}  ・・・(1)$$

が成り立つとき、図1の回路を相反回路といい、$(1)$式を四端子回路の相反定理という。

「相反性がある」という言葉は、2つのものを入れ替えても同等であるという意味である。図1の回路および$(1)$式から分かるように、入力と出力を入れ替えても電圧と電流の関係は等しいため、「相反性がある」ことは明らかである。

AD-BC=1の証明

図2の四端子回路が相反回路である場合、回路の四端子定数$\dot{A}$,$\dot{B}$,$\dot{C}$,$\dot{D}$の間には、

$$\dot{A}\dot{D}-\dot{B}\dot{C}=1 ・・・(2)$$

が成り立つ。

まず、図2の回路において、送電端電圧および電流を$\dot{V_s}$および$\dot{I_s}$, 受電端電圧および電流を$\dot{V_r}$および$\dot{I_r}$とすると、各電圧・電流の関係は、四端子定数$\dot{A}$,$\dot{B}$,$\dot{C}$,$\dot{D}$を用いて下記の式で定義される。

図2 四端子回路(四端子定数表記)

$$\dot{V_s}=\dot{A}\dot{V_r}+\dot{B}\dot{I_r} ・・・(3)\\
\dot{I_s}=\dot{C}\dot{V_r}+\dot{D}\dot{I_r} ・・・(4)$$

$$\left.\dot{A}=\frac{\dot{V_s}}{ \dot{V_r} }\right|_ {\dot{I_r}=0}  ・・・(5)\\
\left.\dot{B}=\frac{\dot{V_s}}{\dot{I_r} }\right|_ {\dot{V_r}=0}  ・・・(6)\\
\left.\dot{C}=\frac{\dot{I_s}}{ \dot{V_r} }\right|_ {\dot{I_r}=0}  ・・・(7)\\
\left.\dot{D}=\frac{\dot{I_s}}{\dot{I_r} }\right|_ {\dot{V_r}=0}  ・・・(8)$$

$(3)$,$(4)$式は行列表記すると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{V_s} \\ \dot{I_s} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \dot{A}& \dot{B} \\ \dot{C}& \dot{D} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{V_r} \\ \dot{I_r} \end{array}\right)  ・・・(9)$$

ここで、$(3)$, $(4)$式を(電圧)=(インピーダンス)×(電流)の形に書き換えてみる。
すなわち、$\dot{V_s}$および$\dot{V_r}$を$\dot{I_s}$および$\dot{I_r}$の式となるようにする。

$(3)$式を変形して、

$$\dot{V_r}=\frac{\dot{V_s}-\dot{B}\dot{I_r}}{\dot{A}} ・・・(10)$$

$(10)$式を$(4)$式に代入し、
$$\begin{align}
\dot{I_s}=\frac{ \dot{C} }{ \dot{A} }\left(\dot{V_s}-\dot{B}\dot{I_r}\right)+\dot{D} \dot{I_r}       \ \\
=\frac{ \dot{C} }{ \dot{A} }\dot{V_s}- \left(\frac{\dot{B}\cdot\dot{C}}{ \dot{A} }-\dot{D}\right)\dot{I_r} ・・・(11)
\end{align}$$

$(11)$式を$\dot{V_s}$の式に書き換えると、

$$ \begin{align}
\dot{V_s}=\frac{ \dot{A} }{ \dot{C} }\dot{I_s}+ \frac{ \dot{A} }{ \dot{C} } \left(\frac{\dot{B}\cdot\dot{C}}{ \dot{A} }-\dot{D}\right)\dot{I_r} \  \     \\
= \frac{ \dot{A} }{ \dot{C} }\dot{I_s}+ \left( \dot{B}-\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}}{ \dot{C} }\right)\dot{I_r}  ・・・(12)
\end{align}$$

また、$(4)$式より、

$$\dot{V_r}=\frac{1}{\dot{C}}\dot{I_s}-\frac{ \dot{D} }{\dot{C}}\dot{I_r} ・・・(13)$$

$(12)$および$(13)$式を行列表示すると(ここで、$\dot{I_r}$の方向は回路に流入する方向を正とするため、$-\dot{I_r}→\dot{I_r}$と置き換えることに注意)、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{V_s} \\ \dot{V_r} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \dot{Z_{11}} & \dot{Z_{12}} \\ \dot{Z_{21}} & \dot{Z_{22}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{I_s} \\ \dot{I_r} \end{array}\right) ≡\boldsymbol{Z}\left(\begin{array}{c} \dot{I_s} \\ \dot{I_r} \end{array}\right) ・・・(14)$$

ただし、

$$\dot{Z_{11}}= \frac{ \dot{A} }{ \dot{C} }, \dot{Z_{12}}= \frac{\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C} }{ \dot{C} }, \dot{Z_{21}}= \frac{1}{\dot{C}}, \dot{Z_{22}}= \frac{\dot{D} }{\dot{C}} $$

$(14)$式に基づき、図2の四端子回路にインピーダンス行列$\boldsymbol{Z}$を表記した回路を図3に示す。

図3 四端子回路(インピーダンス行列表記)

ここで、図3は相反回路であるから、$(1)$式に基づき電圧・電流の関係を式にすると、
(図1とは電流の向きが逆であるが、そのまま$(1)$式に代入したとしても両辺でマイナスが相殺される)

$$\left.\frac{\dot{V_s}}{\dot{I_r}} \right|_ {\dot{I_s}=0} =\left.\frac{\dot{V_r}}{\dot{I_s}} \right|_ {\dot{I_r}=0}  ・・・(15)$$

$(15)$式の左辺および右辺は、それぞれ$(14)$式の$\dot{Z_{12}}$および$\dot{Z_{21}}$に対応しており、結局、

$$\dot{Z_{12}}= \dot{Z_{21}}\\
\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C} }{ \dot{C} }= \frac{1}{\dot{C}} $$
$$\therefore \dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C} =1$$

となり、$(2)$式が導かれる。

逆に、$(2)$式が成り立つとき、$(14)$式より$\dot{Z_{12}}= \dot{Z_{21}}$となり、$(15)$式が成立する。

したがって、四端子回路が相反回路である場合の必要十分条件は$(2)$式が成立することである。

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相反回路の例

相反回路の例として、T形等価回路および$\pi$形等価回路について考える。


各回路の四端子定数はこちら↓

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T形等価回路

図4 T形等価回路

図4の回路の四端子定数は、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \displaystyle{\dot{Z}}\left( 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) \\ \displaystyle {\dot{Y}} & \displaystyle {1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right)$$

$(2)$式を求めると、

$$\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C} = \left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)^2- \dot{Z} \dot{Y} \left( 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) \\
\qquad\qquad\qquad=1+ \dot{Z} \dot{Y}+ \frac{ ( \dot{Z}\dot{Y})^2 }{4}- \dot{Z} \dot{Y}- \frac{ (\dot{Z} \dot{Y})^2 }{4} \\
=1\qquad\qquad\qquad\qquad$$

となり、図4は相反回路であると言える。

π形等価回路

図5 $\pi$形等価回路

図5の回路の四端子定数は、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{ 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \dot{Z} \\ \displaystyle{ \dot{Y}\left( 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)} & \displaystyle{ 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right) $$

$(2)$式を求めると(実はT形等価回路と全く同じ式となり)、

$$\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C} = \left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)^2- \dot{Z} \dot{Y} \left( 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) \\
\qquad\qquad\qquad=1+ \dot{Z} \dot{Y}+ \frac{ ( \dot{Z}\dot{Y})^2 }{4}- \dot{Z} \dot{Y}- \frac{ (\dot{Z} \dot{Y})^2 }{4} \\
=1\qquad\qquad\qquad\qquad$$

となり、図5は相反回路であると言える。

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