相反定理と四端子定数

相反定理

図1のような四端子回路において、下記の条件を考える。

 

  • 図1の四端子回路は内部に電源がなく、かつ受動線形素子(抵抗、インダクタンス、コンデンサなど)で構成される
  • 回路の端子$1-1’$を開放、かつ端子$2-2’$間を短絡したとき(図1上)、端子$1-1’$間に発生する開放電圧を$\dot{V}_1$, 端子$2-2’$間に流れる短絡電流を$\dot{I}_1$とする。
    (このとき、端子$1-1’$間に流れる電流は開放状態なのでゼロである)
  • 端子$2-2’$を開放、かつ端子$1-1’$間を短絡したとき(図1下)、端子$2-2’$間に発生する開放電圧を$\dot{V}_2$, 端子$1-1’$間に流れる短絡電流を$\dot{I}_2$とする。
    (このとき、端子$2-2’$間に流れる電流は開放状態なのでゼロである)

 

図1 相反回路

 

上記の条件下において、

$$\left.\frac{\dot{V}_1}{\dot{I}_1}\right|_ {\dot{I}_2=0}=\left.\frac{\dot{V}_2}{\dot{I}_2}\right|_{\dot{I}_1=0}  ・・・(1)$$

が成り立つとき、図1の回路を相反回路といい、$(1)$式を四端子回路の相反定理という。

 

そもそも、「相反性がある」という言葉は、「2つのものを入れ替えても同等である」という意味である。

図1の回路および$(1)$式からわかるように、入力と出力を入れ替えても電圧と電流の関係は等しいため、この回路には「相反性がある」ことは明らかである。

 

AD-BC=1の証明

図2の四端子回路が相反回路である場合、同回路の四端子定数$\dot{A},\ \dot{B},\ \dot{C},\ \dot{D}$の間に、

$$\dot{A}\dot{D}-\dot{B}\dot{C}=1 ・・・(2)$$

という関係が成立する。

 

図2 四端子回路(四端子定数表記)

 

ここで、$(2)$式を導出してみる。

 

まず、図2の回路において、送電端電圧および電流を$\dot{V}_s$および$\dot{I}_s$, 受電端電圧および電流を$\dot{V}_r$および$\dot{I}_r$とすると、各電圧・電流の関係は、四端子定数$\dot{A},\ \dot{B},\ \dot{C},\ \dot{D}$を用いて、下記の式で表される。

 

$$\begin{cases}
\dot{V}_s&=\dot{A}\dot{V}_r+\dot{B}\dot{I}_r &・・・(3)\\\\
\dot{I}_s&=\dot{C}\dot{V}_r+\dot{D}\dot{I}_r &・・・(4)
\end{cases}$$

 

ただし、$\left.\dot{A}=\displaystyle{\frac{\dot{V}_s}{\dot{V}_r}}\right|_{\dot{I}_r=0},\ \left.\dot{B}=\displaystyle{\frac{\dot{V}_s}{\dot{I}_r}}\right|_{\dot{V}_r=0},\ \left.\dot{C}=\displaystyle{\frac{\dot{I}_s}{\dot{V}_r}}\right|_{\dot{I}_r=0},\ \left.\dot{D}=\displaystyle{\frac{\dot{I}_s}{\dot{I}_r}}\right|_{\dot{V}_r=0}$

 

$(3),\ (4)$式は行列表記すると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_s \\ \dot{I}_s \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C}& \dot{D} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{V}_r \\ \dot{I}_r \end{array}\right)$$

 

ここで、$(3)$および$(4)$式を(電圧)=(インピーダンス)×(電流)の形に書き換えてみる。

すなわち、$\dot{V}_s$および$\dot{V}_r$を$\dot{I}_s$および$\dot{I}_r$の式となるようにする。

 

$(3)$式を変形して、

$$\dot{V}_r=\frac{\dot{V}_s-\dot{B}\dot{I}_r}{\dot{A}} ・・・(5)$$

 

$(5)$式を$(4)$式に代入し、

$$\begin{align*}
\dot{I_s}&=\frac{\dot{C}}{\dot{A}}\left(\dot{V}_s-\dot{B}\dot{I}_r\right)+\dot{D}\dot{I}_r\\\\
&=\frac{\dot{C}}{\dot{A}}\dot{V}_s-\left(\frac{\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{A}}-\dot{D}\right)\dot{I}_r ・・・(6)
\end{align*}$$

 

$(6)$式を$\dot{V}_s$の式に書き換えると、

$$\begin{align}
\dot{V}_s&=\frac{\dot{A}}{\dot{C}}\dot{I}_s+\frac{\dot{A}}{\dot{C}}\left(\frac{\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{A}}-\dot{D}\right)\dot{I}_r\\\\
&=\frac{\dot{A}}{\dot{C}}\dot{I}_s+\left(\dot{B}-\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}}{\dot{C}}\right)\dot{I}_r  ・・・(7)
\end{align}$$

 

また、$(4)$式より、

$$\dot{V}_r=\frac{1}{\dot{C}}\dot{I}_s-\frac{\dot{D}}{\dot{C}}\dot{I}_r ・・・(8)$$

 

$(7)$および$(8)$式を行列表示すると

$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_s \\ \dot{V}_r \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \dot{Z}_{11} & \dot{Z}_{12} \\ \dot{Z}_{21} & \dot{Z}_{22} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{I}_s \\ \dot{I}_r \end{array}\right)\equiv\boldsymbol{Z}\left(\begin{array}{c} \dot{I}_s \\ \dot{I}_r \end{array}\right) ・・・(9)$$

 

ただし、

$$\dot{Z}_{11}=\frac{\dot{A}}{\dot{C}},\ \dot{Z}_{12}=\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{C}},\ \dot{Z}_{21}=\frac{1}{\dot{C}},\ \dot{Z}_{22}= \frac{\dot{D}}{\dot{C}}$$

 

上式の計算では、$\dot{I}_r$の方向は回路に流入する方向を正とするため、$-\dot{I}_r\rightarrow\dot{I}_r$と置き換えていることに注意。

 

$(9)$式に基づき、図2の四端子回路にインピーダンス行列$\boldsymbol{Z}=\left(\begin{array}{cc} \dot{Z}_{11} & \dot{Z}_{12} \\ \dot{Z}_{21} & \dot{Z}_{22} \end{array}\right)$を表記した回路を図3に示す。

 

図3 四端子回路(インピーダンス行列表記)

 

ここで、図3は相反回路であるから、$(1)$式に基づき電圧・電流の関係を式にすると、

$$\left.\frac{\dot{V}_s}{\dot{I}_r}\right|_{\dot{I}_s=0}=\left.\frac{\dot{V}_r}{\dot{I}_s}\right|_ {\dot{I}_r=0} ・・・(11)$$

 

なお、図3は図1とは各電流の向きが逆になっているが、そのまま$(1)$式に当てはめたとしても計算の過程で両辺でマイナスが相殺されて、同じ結果になる。

 

$(11)$式の左辺および右辺は、それぞれ$(10)$式の$\dot{Z}_{12}$および$\dot{Z}_{21}$に対応しており、結局、

$$\begin{align*}
\dot{Z}_{12}=\dot{Z}_{21}&\\\\
\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{C}}&=\frac{1}{\dot{C}}\\\\
\therefore\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}&=1
\end{align*}$$

となり、$(2)$式が導かれる。

 

逆に、$(2)$式が成り立つとき、$(10)$式より$\dot{Z}_{12}=\dot{Z}_{21}=\displaystyle{\frac{1}{\dot{C}}}$となり、$(11)$式が成立する。

 

したがって、四端子回路が相反回路である場合の必要十分条件は、$(2)$式が成立することである。

相反回路の例

相反回路の例として、T形等価回路および$\pi$形等価回路について考える。

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T形等価回路

図4 T形等価回路

 

図4の回路の四端子定数は(導出はこちら)、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \displaystyle{\dot{Z}}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) \\ \displaystyle {\dot{Y}} & \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right)$$

 

$(2)$式を求めると、

$$\begin{align*}
\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}&=\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)^2-\dot{Z}\dot{Y}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)\\\\
&=1+\dot{Z}\dot{Y}+\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}-\dot{Z}\dot{Y}-\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}\\\\
&=1
\end{align*}$$

となり、図4は相反回路であるといえる。

 

π形等価回路

図5 $\pi$形等価回路

 

図5の回路の四端子定数は(導出はこちら)、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \dot{Z} \\ \displaystyle{\dot{Y}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)} & \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right)$$

 

$(2)$式を求めると(実はT形等価回路と全く同じ式となり)、

$$\begin{align*}
\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}&=\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)^2-\dot{Z} \dot{Y}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)\\\\
&=1+\dot{Z}\dot{Y}+\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}-\dot{Z}\dot{Y}-\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}\\\\
&=1
\end{align*}$$

となり、図5は相反回路であるといえる。

 

参考文献