三角関数の積和・和積の公式

本記事では、三角関数の公式のうち、「積和の公式」「和積の公式」とその証明について記述する。





積和の公式

積和の公式一覧

三角関数の「積」の形から「和」の形に変換する式を通称「積和の公式」という。

「積和の公式」は、下記の通り。

$$\begin{align*}
\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}\\\\
\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}\\\\
\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}\\\\
\sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}
\end{align*}$$

 

sin 〇 cos △の式

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$

 

証明

加法定理より、

$$\begin{cases}
\sin\left(\alpha+\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta &・・・(1)\\\\
\sin\left(\alpha-\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta &・・・(2)
\end{cases}$$

 

$(1)+(2)$式として、

$$\begin{align*}
\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)&=2\sin\alpha\cos\beta\\\\
\therefore \sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(3)
\end{align*}$$

 

cos 〇 sin △の式

$$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$

 

証明

前項の加法定理の式で、$(1)-(2)$式として、

$$\begin{align*}
\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)&=2\cos\alpha\sin\beta\\\\
\therefore \cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(4)
\end{align*}$$

 

cos 〇 cos △の式

$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$

 

証明

加法定理より、

$$\begin{cases}
\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta &・・・(5)\\\\
\cos\left(\alpha-\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta &・・・(6)
\end{cases}$$

 

$(5)+(6)$式として、

$$\begin{align*}
\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)&=2\cos\alpha\cos\beta\\\\
\therefore \cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

sin 〇 sin △の式

$$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$

 

証明

前項の加法定理の式で、$(3)-(4)$式として、

$$\begin{align*}
\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)&=-2\sin\alpha\sin\beta\\\\
\therefore \sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(8)
\end{align*}$$

 

 

和積の公式

和積の公式一覧

三角関数の「和」の形から「積」の形に変換する式を通称「和積の公式」という。

「和積の公式」は、下記の通り。

$$\begin{align*}
\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}&=2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\cos{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}\\\\
\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}&=2\cos{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}\\\\
\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}&=2\cos{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\cos{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}\\\\
\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}&=-2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}
\end{align*}$$

 

sin 〇 + sin △の式

$$\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}=2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\cos{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}$$

 

活用例

 

証明

$$\begin{cases}
\alpha+\beta&=\mathrm{A} &・・・(9)\\\\
\alpha-\beta&=\mathrm{B} &・・・(10)
\end{cases}$$

と置くと、$(9)+(10)$として、

$$\begin{align*}
2\alpha&=\mathrm{A}+\mathrm{B}\\\\
\therefore\alpha&=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2} ・・・(11)
\end{align*}$$

 

また、$(9)-(10)$として、

$$\begin{align*}
2\beta&=\mathrm{A}-\mathrm{B}\\\\
\therefore\beta&=\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} ・・・(12)
\end{align*}$$

 

$(11),\ (12)$式を$(3)$式に代入して、

$$\begin{align*}
\frac{1}{2}\left(\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}\right)&=\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}&=2\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$

 

sin 〇 – sin △の式

$$\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}=2\cos{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}$$

 

活用例

 

証明

$(11),\ (12)$式を$(4)$式に代入して、

$$\begin{align*}
\frac{1}{2}\left(\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}\right)&=\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}&=2\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$

 

cos 〇 + cos △の式

$$\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}=2\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}$$

 

活用例

 

証明

$(11),\ (12)$式を$(7)$式に代入して、

$$\begin{align*}
\frac{1}{2}\left(\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}\right)&=\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}&=2\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$

 

cos 〇 – cos △の式

$$\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}=-2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}$$

 

活用例

 

証明

$(11),\ (12)$式を$(8)$式に代入して、

$$\begin{align*}
-\frac{1}{2}\left(\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}\right)&=\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}&=-2\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$

 

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参考文献